部分的な因数分解

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.19 練習17(1)

\(x\) と \(y\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-y^2+6y-9\\[3pt]~~~&=&x^2-(y^2-6y+9)\\[3pt]~~~&=&x^2-(y-3)^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,x+(y-3)\,\right\}\left\{\,x-(y-3)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+y-3)(x-y+3)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.19 練習17(2)

\(x\) と \(y\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-4x+4-9y^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-9y^2\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-(3y)^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(x-2)+3y\,\right\}\left\{\,(x-2)-3y\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+3y-2)(x-3y-2)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.20 練習19(1)

\(x\) については2次式、\(y\) と \(z\) については1次式であるので、\(z\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-yz+zx-y^2\\[3pt]~~~&=&(x-y)z+(x^2-y^2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-y)z+(x+y)(x-y)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-y)\left\{\,z+(x+y)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-y)(x+y+z)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.20 練習19(2)

\(a\) については2次式、\(b\) については1次式であるので、\(b\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&9b-9-3ab+a^2\\[3pt]~~~&=&-3ab+9b+a^2-9\\[3pt]~~~&=&(-3a+9)b+(a^2-9)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-3(a-3)b+(a+3)(a-3)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-3)\left\{\,-3b+(a+3)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(a-3)(a-3b+3)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.20 練習19(3)

\(x\) については2次式、\(y\) については1次式であるので、\(y\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&2x^2+6xy+x-3y-1\\[3pt]~~~&=&(6x-3)y+(2x^2+x-1)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、たすき掛けの因数分解を用いて、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-1~&~-1\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&1~&~2\\[2pt]
\hline
&&&1
\end{array}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&3(2x-1)y+(2x-1)(x+1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2x-1)\left\{\,3y+(x+1)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2x-1)(x+3y+1)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 4(2)

\(x~,~y\) と \(z\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&4x^2+y^2-z^2-4xy\\[3pt]~~~&=&(4x^2-4xy+y^2)-z^2\\[3pt]~~~&=&(2x-y)^2-z^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(2x-y)+z\,\right\}\left\{\,(2x-y)-z\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2x-y+z)(2x-y-z)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 5(1)

前半2項と後半2項で、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^3-2x^2y+xy-2y^2\\[3pt]~~~&=&x^2(x-2y)+y(x-2y)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-2y)(x^2+y)\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.20 練習22(1)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.21 練習24(1)

\(x\) については2次式、\(y\) については1次式であるので、\(y\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+xy-4x-y+3\\[3pt]~~~&=&(x-1)y+(x^2-4x+3)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)y+(x-1)(x-3)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)\left\{\,y+(x-3)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-1)(x+y-3)\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.20 練習22(2)

\(x\) については2次式、\(a\) については1次式であるので、\(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+ax-3a-9\\[3pt]~~~&=&(x-3)a+(x^2-9)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-3)a+(x+3)(x-3)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-3)\left\{\,a+(x+3)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-3)(x+a+3)\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 4(1)

\(x\) と \(y\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&4x^2-y^2+2y-1\\[3pt]~~~&=&4x^2-(y^2-2y+1)\\[3pt]~~~&=&(2x)^2-(y-1)^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,2x+(y-1)\,\right\}\left\{\,2x-(y-1)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2x+y-1)(2x-y+1)\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 4(3)

\(x\) については3次式、\(a\) については1次式であるので、\(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^3+ax^2-x^2-a\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)a+(x^3-x^2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1)(x-1)a+x^2(x-1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)\left\{\,(x+1)a+x^2\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-1)(x^2+ax+a)\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 2(1)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.52 章末問題A 2(1)

\(x\) については2次式、\(b\) については1次式であるので、\(b\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&6x^2+(3a-2b)x-ab\\[3pt]~~~&=&6x^2+3ax-2bx-ab\\[3pt]~~~&=&-(2x+a)b+(6x^2+3ax)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-(2x+a)b+3x(2x+a)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2x+a)\left\{\,-b+3x\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2x+a)(3x-b)\end{eqnarray}\)
 
 

【別解】

たすき掛けの因数分解をすると、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&a~&~3a\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~3&&-b~&~-2b\\[2pt]
\hline
&&&3a-2b
\end{array}\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&6x^2+(3a-2b)x-ab\\[3pt]~~~&=&(2x+a)(3x-b)\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 2(2)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.48 練習問題A 3(1)

\(x~,~y\) と \(z\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+y^2-2xy-z^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-2xy+y^2)-z^2\\[3pt]~~~&=&(x-y)^2-z^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(x-y)+z\,\right\}\left\{\,(x-y)-z\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-y+z)(x-y-z)\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 2(4)

\(a\) については1次式、\(b\) については2次式、\(c\) については2次式であるので、\(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&ab^2-bc^2-b^2c-c^2a\\[3pt]~~~&=&(b^2-c^2)a+(-b^2c-bc^2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(b+c)(b-c)a-bc(b+c)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(b+c)\left\{\,(b-c)a-bc\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(b+c)(ab-ac-bc)\end{eqnarray}\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.21 練習24(2)

\(x\) については2次式、\(a\) については1次式であるので、\(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+3ax-9a-9\\[3pt]~~~&=&(3x-9)a+(x^2-9)\\[3pt]~~~&=&3(x-3)a+(x^2-9)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&3(x-3)a+(x+3)(x-3)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-3)\left\{\,3a+(x+3)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-3)(x+3a+3)\end{eqnarray}\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.26 補充問題 3(5)

\(x\) については3次式、\(y\) については1次式であるので、\(y\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^3+x^2y-x^2-y\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)y+(x^3-x^2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1)(x-1)y+x^2(x-1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)\left\{\,(x+1)y+x^2\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-1)(x^2+xy+y)\end{eqnarray}\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.26 補充問題 3(6)

\(x\) と \(y\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&4x^2-y^2-2y-1\\[3pt]~~~&=&4x^2-(y^2+2y+1)\\[3pt]~~~&=&(2x)^2-(y+1)^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,2x+(y+1)\,\right\}\left\{\,2x-(y+1)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2x+y+1)(2x-y-1)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.18 問27(1)

\(y\) については2次式、\(x\) については1次式であるので、\(x\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&4xy^2-4y^2-x+1\\[3pt]~~~&=&(4y^2-1)x+(-4y^2+1)\\[3pt]~~~&=&(4y^2-1)x-(4y^2-1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(4y^2-1)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2y+1)(2y-1)(x-1)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.18 問27(2)

\(a\) については3次式、\(c\) については1次式であるので、\(c\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&a^3-9ab^2+a^2c-9b^2c\\[3pt]~~~&=&(a^2-9b^2)c+(a^3-9ab^2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2-9b^2)c+a(a^2-9b^2)
\\[3pt]~~~&=&(a+3b)(a-3b)c+a(a+3b)(a-3b)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+3b)(a-3b)(c+a)\\[3pt]~~~&=&(a+3b)(a-3b)(a+c)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.19 問題 4(5)

\(b\) については2次式、\(a\) については1次式であるので、\(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&4ab^2-a+2b-1\\[3pt]~~~&=&(4b^2-1)a+(2b-1)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2b+1)(2b-1)a+(2b-1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2b-1)\left\{\,(2b+1)a+1\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2b-1)(2ab+a+1)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.19 問題 4(6)

\(x\) については2次式、\(a\) については1次式であるので、\(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-(a-1)x-a\\[3pt]~~~&=&x^2-ax+x-a\\[3pt]~~~&=&-(x+1)a+(x^2+x)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-(x+1)a+x(x+1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1)\left\{\,-a+x\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+1)(x-a)\end{eqnarray}\)

 
 

【別解】

たすき掛けで因数分解をすると、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~1&&-a~&~-a\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&1~&~1\\[2pt]
\hline
&&&-(a-1)
\end{array}\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-(a-1)x-a\\[3pt]~~~&=&(x-a)(x+1)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.19 問題 4(8)

\(a\) については3次式、\(c\) については1次式であるので、\(c\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&a^3-ab^2+b^2c-a^2c\\[3pt]~~~&=&(b^2-a^2)c+(a^3-ab^2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-(a^2-b^2)c+a(a^2-b^2)\\[3pt]~~~&=&-(a+b)(a-b)c+a(a+b)(a-b)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)(a-b)\left\{\,-c+a\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(a+b)(a-b)(a-c)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.48 練習問題A 3(3)

\(x\) については2次式、\(z\) については1次式であるので、\(z\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2y+y^2z-y^3-x^2z\\[3pt]~~~&=&(y^2-x^2)z+(x^2y-y^3)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-(x+y)(x-y)z+y(x+y)(x-y)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)(x-y)\left\{\,-z+y\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+y)(x-y)(y-z)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.23 問20(1)

\(x\) については2次式、\(y\) については1次式であるので、\(y\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+xy-x+y-2\\[3pt]~~~&=&(x+1)y+(x^2-x-2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1)y+(x-2)(x+1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1)\left\{\,y+(x-2)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+1)(x+y-2)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.23 問20(2)

\(b\) については2次式、\(a\) については1次式であるので、\(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&2ab+2b^2-a+b-1\\[3pt]~~~&=&(2b-1)a+(2b^2+b-1)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、たすき掛けの因数分解を用いて、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2b&&-1~&~-b\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~b&&1~&~2b\\[2pt]
\hline
&&&b
\end{array}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2b-1)a+(2b-1)(b+1)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2b-1)\left\{\,a+(b+1)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2b-1)(a+b+1)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.25 Training 5(6)

\(a\) については2次式、\(b\) については1次式であるので、\(b\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&a^2b-3ab+a+2b-2\\[3pt]~~~&=&(a^2-3a+2)b+(a-2)\end{eqnarray}\)

---

部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-1)(a-2)b+(a-2)\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-2)\left\{\,(a-1)b+1\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(a-2)(ab-b+1)\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.50 Level Up 3(1)

\(x\) と \(y~,~z\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-y^2-z^2+2yz\\[3pt]~~~&=&x^2-(y^2-2yz+z^2)\\[3pt]~~~&=&x^2-(y-z)^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,x+(y-z)\,\right\}\left\{\,x-(y-z)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+y-z)(x-y+z)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.19 練習17(1)

\(x\) と \(y\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-4x+4-y^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-y^2\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-y^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(x-2)+y\,\right\}\left\{\,(x-2)-y\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+y-2)(x-y-2)\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.19 練習17(2)

\(x\) と \(y\) に分けて、部分的な因数分解をすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&4x^2-y^2+6y-9\\[3pt]~~~&=&4x^2-(y^2-6y+9)\\[3pt]~~~&=&(2x)^2-(y-3)^2\end{eqnarray}\)

---

全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,2x+(y-3)\,\right\}\left\{\,2x-(y-3)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2x+y-3)(2x-y+3)\end{eqnarray}\)