このページは、「平方根の式√( )²の外し方」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
平方根の式√( )²の外し方 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の□に適する \(x\) の多項式を求めよ。
\({\small (1)}~\)
\(x{\small ~≧~}1\) のとき \(\sqrt{\,(x-1)^2\,}=\)□
\(x \lt 1\) のとき \(\sqrt{\,(x-1)^2\,}=\)□
\({\small (2)}~\) \(-1{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき
\(\sqrt{\,x^2+2x+1\,}-\sqrt{\,x^2-2x+1\,}=\)□
\({\small (1)}~\)
\(x{\small ~≧~}1\) のとき \(\sqrt{\,(x-1)^2\,}=\)□
\(x \lt 1\) のとき \(\sqrt{\,(x-1)^2\,}=\)□
\({\small (2)}~\) \(-1{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき
\(\sqrt{\,x^2+2x+1\,}-\sqrt{\,x^2-2x+1\,}=\)□
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.48 演習問題A 3
\({\small (1)}~\)
\(\sqrt{\,(x-1)^2\,}=|\,x-1\,|\)
\(x{\small ~≧~}1\) のとき、すなわち \(x-1{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|=x-1\end{eqnarray}\)
\(x \lt 1\) のとき、すなわち \(x-1 \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|&=&-(x-1)\\[3pt]~~~&=&-x+1\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
平方根の中をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,x^2+2x+1\,}-\sqrt{\,x^2-2x+1\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x+1)^2\,}-\sqrt{\,(x-1)^2\,}\\[3pt]~~~&=&|\,x+1\,|-|\,x-1\,|\end{eqnarray}\)
\(-1{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき、\(x+1{\small ~≧~}0\) かつ \(x-1 \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x+1\,|&=&x+1\\[3pt]~~~|\,x-1\,|&=&-(x-1)=-x+1\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x+1\,|-|\,x-1\,|\\[3pt]~~~&=&(x+1)-(-x+1)\\[3pt]~~~&=&x+1+x-1\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の場合について、\(\sqrt{\,x^2-2x+1\,}\) を \(x\) の多項式で表せ。
\({\small (1)}~\) \(x{\small ~≧~}1\)
\({\small (2)}~\) \(x \lt 1\)
\({\small (1)}~\) \(x{\small ~≧~}1\)
\({\small (2)}~\) \(x \lt 1\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 4
平方根の中を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,x^2-2x+1\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-1)^2\,}\\[3pt]~~~&=&|\,x-1\,|\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) \(x{\small ~≧~}1\) のとき、すなわち \(x-1{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|=x-1\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \(x \lt 1\) のとき、すなわち \(x-1 \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|&=&-(x-1)\\[3pt]~~~&=&-x+1\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\sqrt{\,x^2\,}+\sqrt{\,x^2-4x+4\,}\) を次の場合について簡単にせよ。
\({\small (1)}~\) \(x \lt 0\)
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}x \lt 2\)
\({\small (3)}~\) \(2{\small ~≦~}x\)
\({\small (1)}~\) \(x \lt 0\)
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}x \lt 2\)
\({\small (3)}~\) \(2{\small ~≦~}x\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.53 章末問題B 13
平方根の中をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,x^2\,}+\sqrt{\,x^2-4x+4\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2\,}+\sqrt{\,(x-2)^2\,}\\[3pt]~~~&=&|\,x\,|+|\,x-2\,|\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) \(x \lt 0\) のとき、\(x \lt 0\) かつ \(x-2 \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|&=&-x\\[3pt]~~~|\,x-2\,|&=&-(x-2)=-x+2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x\,|+|\,x-2\,|\\[3pt]~~~&=&(-x)+(-x+2)\\[3pt]~~~&=&-2x+2\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}x \lt 2\) のとき、\(x{\small ~≧~}0\) かつ \(x-2 \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|&=&x\\[3pt]~~~|\,x-2\,|&=&-(x-2)=-x+2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x\,|+|\,x-2\,|\\[3pt]~~~&=&x+(-x+2)\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\) \(2{\small ~≦~}x\) のとき、\(x{\small ~≧~}0\) かつ \(x-2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|&=&x\\[3pt]~~~|\,x-2\,|&=&x-2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x\,|+|\,x-2\,|\\[3pt]~~~&=&x+(x-2)\\[3pt]~~~&=&2x-2\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(a+b{\small ~≧~}0~,~a-b{\small ~≦~}0\) のとき
\(\sqrt{\,a^2+2ab+b^2\,}+\sqrt{\,a^2-2ab+b^2\,}\)
を簡単にせよ。
\(\sqrt{\,a^2+2ab+b^2\,}+\sqrt{\,a^2-2ab+b^2\,}\)
を簡単にせよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.49 練習問題B 12
平方根の中をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,a^2+2ab+b^2\,}+\sqrt{\,a^2-2ab+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(a+b)^2\,}+\sqrt{\,(a-b)^2\,}\\[3pt]~~~&=&|\,a+b\,|+|\,a-b\,|\end{eqnarray}\)
\(a+b{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,a+b\,|=a+b\end{eqnarray}\)
\(a-b{\small ~≦~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,a-b\,|&=&-(a-b)\\[3pt]~~~&=&-a+b\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,a+b\,|+|\,a-b\,|\\[3pt]~~~&=&(a+b)+(-a+b)\\[3pt]~~~&=&2b\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\sqrt{\,x^2-2x+1\,}+\sqrt{\,x^2+2x+1\,}\) を、次のそれぞれの場合について簡単にせよ。
\({\small (1)}~\) \(x \lt -1\) の場合
\({\small (2)}~\) \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の場合
\({\small (3)}~\) \(1 \lt x\) の場合
\({\small (1)}~\) \(x \lt -1\) の場合
\({\small (2)}~\) \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の場合
\({\small (3)}~\) \(1 \lt x\) の場合
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.51 Level Up 7
平方根の中をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,x^2-2x+1\,}+\sqrt{\,x^2+2x+1\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-1)^2\,}+\sqrt{\,(x+1)^2\,}\\[3pt]~~~&=&|\,x-1\,|+|\,x+1\,|\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) \(x \lt -1\) のとき、\(x-1 \lt 0\) かつ \(x+1 \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|&=&-(x-1)=-x+1\\[3pt]~~~|\,x+1\,|&=&-(x+1)=-x-1\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x-1\,|+|\,x+1\,|\\[3pt]~~~&=&(-x+1)+(-x-1)\\[3pt]~~~&=&-2x\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) のとき、\(x-1{\small ~≦~}0\) かつ \(x+1{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|&=&-(x-1)=-x+1\\[3pt]~~~|\,x+1\,|&=&x+1\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x-1\,|+|\,x+1\,|\\[3pt]~~~&=&(-x+1)+(x+1)\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\) \(1 \lt x\) のとき、\(x-1 \gt 0\) かつ \(x+1 \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|&=&x-1\\[3pt]~~~|\,x+1\,|&=&x+1\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x-1\,|+|\,x+1\,|\\[3pt]~~~&=&(x-1)+(x+1)\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
