このページは、「3つの項の分母の有理化」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
3つの項の分母の有理化 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 演習問題A 10
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.50 章末問題B 11
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.51 Level Up 5
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) の積なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,\right\}\left\{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{2}+2-3
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\sqrt{2}\) となる
\({\small (2)}~\)分母分子に \(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\) を掛けると、\({\small (1)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
次に、分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛けて有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.53 章末問題B 10
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) の積なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,\right\}\left\{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{2}+2-3
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\sqrt{2}\) となる
\({\small (2)}~\)分母分子に \(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\) を掛けると、\({\small (1)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
次に、分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛けて有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sqrt{2}+2-\sqrt{6})\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の式を簡単にせよ。
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1-\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.51 練習問題B 10
1番目と3番目を \((1+\sqrt{2})\) でまとめ、2番目と4番目を \((1-\sqrt{2})\) でまとめて計算する。
1番目と3番目について、分母が \((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) なので、通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\}+3\{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\,}{\,\{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2})-2\sqrt{3}+3(1+\sqrt{2})+3\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}\,}{\,1+2\sqrt{2}+2-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\}+3\{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\,}{\,\{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2})-2\sqrt{3}+3(1+\sqrt{2})+3\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}\,}{\,1+2\sqrt{2}+2-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
2番目と4番目について、分母が \((1-\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と \((1-\sqrt{2})-\sqrt{3}\) なので、通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1-\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}\}+3\{(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\,}{\,\{(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}\}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1-\sqrt{2})-2\sqrt{3}+3(1-\sqrt{2})+3\sqrt{3}\,}{\,(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3-3\sqrt{2}+3\sqrt{3}\,}{\,1-2\sqrt{2}+2-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5-5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,-2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}\}+3\{(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\,}{\,\{(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}\}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1-\sqrt{2})-2\sqrt{3}+3(1-\sqrt{2})+3\sqrt{3}\,}{\,(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3-3\sqrt{2}+3\sqrt{3}\,}{\,1-2\sqrt{2}+2-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5-5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,-2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、2つの結果を足すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,5+5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}+\displaystyle \frac{\,5-5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,-2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}-\displaystyle \frac{\,5-5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(5+5\sqrt{2}+\sqrt{3})-(5-5\sqrt{2}+\sqrt{3})\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+5\sqrt{2}+\sqrt{3}-5+5\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}-\displaystyle \frac{\,5-5\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(5+5\sqrt{2}+\sqrt{3})-(5-5\sqrt{2}+\sqrt{3})\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+5\sqrt{2}+\sqrt{3}-5+5\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(5\) となる
