このページは、「3つの項の分母の有理化」の練習問題アーカイブページとなります。
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3つの項の分母の有理化 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 演習問題A 10
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.50 章末問題B 11
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.51 Level Up 5
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) の積なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,\right\}\left\{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{2}+2-3
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\sqrt{2}\) となる
\({\small (2)}~\)分母分子に \(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\) を掛けると、\({\small (1)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
次に、分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛けて有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\) を計算せよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化せよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.53 章末問題B 10
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) の積なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,\right\}\left\{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{2}+2-3
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\sqrt{2}\) となる
\({\small (2)}~\)分母分子に \(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\) を掛けると、\({\small (1)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
次に、分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛けて有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sqrt{2}+2-\sqrt{6})\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\) となる
