このページは、「整数部分・小数部分と式の値」の練習問題アーカイブページとなります。
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整数部分・小数部分と式の値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}\) の整数部分を \(a\) 、小数部分を \(b\) とする。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(b^3~,~\)\(b^4-2b^2+1\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(b^3~,~\)\(b^4-2b^2+1\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 演習問題B 11
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,5-4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}+2\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sqrt{4} \lt \sqrt{5} \lt \sqrt{9}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 &\lt& \sqrt{5} \lt 3
\\[3pt]~~~2+2 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 3+2
\\[3pt]~~~4 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 5\end{eqnarray}\)
これより、整数部分は \(a=4\)
小数部分の \(b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&(\sqrt{5}+2)-4
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}-2\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&b^3
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{5}-2)^3\end{eqnarray}\)
ここで、\((\sqrt{5}-2)^2\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sqrt{5}-2)^2
\\[3pt]~~~&=&5-4\sqrt{5}+4
\\[3pt]~~~&=&9-4\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&b^3
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{5}-2)^2(\sqrt{5}-2)
\\[3pt]~~~&=&(9-4\sqrt{5})(\sqrt{5}-2)
\\[3pt]~~~&=&9\sqrt{5}-18-4 \cdot 5+8\sqrt{5}
\\[3pt]~~~&=&9\sqrt{5}-18-20+8\sqrt{5}
\\[3pt]~~~&=&17\sqrt{5}-38\end{eqnarray}\)
【別解】
公式 \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) に \(a=\sqrt{5}~,~b=-2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sqrt{5}-2)^3
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{5})^3+3 \cdot (\sqrt{5})^2 \cdot (-2)+3 \cdot \sqrt{5} \cdot (-2)^2+(-2)^3
\\[3pt]~~~&=&5\sqrt{5}-30+12\sqrt{5}-8
\\[3pt]~~~&=&17\sqrt{5}-38\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{5})^3+3 \cdot (\sqrt{5})^2 \cdot (-2)+3 \cdot \sqrt{5} \cdot (-2)^2+(-2)^3
\\[3pt]~~~&=&5\sqrt{5}-30+12\sqrt{5}-8
\\[3pt]~~~&=&17\sqrt{5}-38\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(b^4-2b^2+1\) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&b^4-2b^2+1
\\[3pt]~~~&=&(b^2-1)^2\end{eqnarray}\)
\(b=\sqrt{5}-2\) より \(b^2=9-4\sqrt{5}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(9-4\sqrt{5}-1)^2
\\[3pt]~~~&=&(8-4\sqrt{5})^2
\\[3pt]~~~&=&64-64\sqrt{5}+16 \cdot 5
\\[3pt]~~~&=&64-64\sqrt{5}+80
\\[3pt]~~~&=&144-64\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}\) の整数の部分を \(a\) 、小数の部分を \(b\) とする。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}~,~\)\(b^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b^2\,}\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}~,~\)\(b^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b^2\,}\) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.50 章末問題B 12
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,5-4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}+2\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sqrt{4} \lt \sqrt{5} \lt \sqrt{9}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 &\lt& \sqrt{5} \lt 3
\\[3pt]~~~2+2 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 3+2
\\[3pt]~~~4 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 5\end{eqnarray}\)
これより、整数部分は \(a=4\)
小数部分の \(b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&(\sqrt{5}+2)-4
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}-2\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(b=\sqrt{5}-2\) より \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,5-4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}+2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{5}-2)+(\sqrt{5}+2)
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\right)^2=b^2+2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b^2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&b^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\right)^2-2
\\[5pt]~~~&=&(2\sqrt{5})^2-2
\\[3pt]~~~&=&20-2
\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\sqrt{5}\) の整数の部分を \(a\) 、小数の部分を \(b\) とする。
\({\small (1)}~\)\(a\) と \(b\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) の整数の部分を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a\) と \(b\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) の整数の部分を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.53 章末問題B 11
\(\sqrt{4} \lt \sqrt{5} \lt \sqrt{9}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 &\lt& \sqrt{5} \lt 3\end{eqnarray}\)
これより、整数部分は \(a=2\)
小数部分の \(b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&\sqrt{5}-2\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) に \(a=2~,~b=\sqrt{5}-2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}-2\,}\end{eqnarray}\)
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sqrt{5}+2)\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sqrt{5}+2)\,}{\,5-4\,}
\\[3pt]~~~&=&2(\sqrt{5}+2)
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{5}+4\end{eqnarray}\)
ここで、\(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\) であり、\(\sqrt{16} \lt \sqrt{20} \lt \sqrt{25}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4 &\lt& 2\sqrt{5} \lt 5
\\[3pt]~~~4+4 &\lt& 2\sqrt{5}+4 \lt 5+4
\\[3pt]~~~8 &\lt& 2\sqrt{5}+4 \lt 9\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) の整数部分は \(8\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3-\sqrt{7}\,}\) の整数部分を \(a\) 、小数部分を \(b\) とするとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(a^2+2ab+4b^2\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(a^2+2ab+4b^2\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.49 練習問題B 11
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3-\sqrt{7}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3-\sqrt{7}\,}{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,3+\sqrt{7}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,3^2-(\sqrt{7})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,9-7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sqrt{4} \lt \sqrt{7} \lt \sqrt{9}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 &\lt& \sqrt{7} \lt 3
\\[3pt]~~~3+2 &\lt& 3+\sqrt{7} \lt 3+3
\\[3pt]~~~5 &\lt& 3+\sqrt{7} \lt 6
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} &\lt& \displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,2\,} \lt \displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2.5 &\lt& \displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,2\,} \lt 3\end{eqnarray}\)
これより、整数部分は \(a=2\)
小数部分の \(b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}\,}{\,2\,}-2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}-4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{7}-1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(a^2+2ab+4b^2\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a^2+2ab+4b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+4ab+4b^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&(a+2b)^2-2ab\end{eqnarray}\)
ここで、\(a+2b\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a+2b
\\[5pt]~~~&=&2+2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{7}-1\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&2+\sqrt{7}-1
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{7}+1\end{eqnarray}\)
また、\(ab\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&ab
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{7}-1\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{7}-1\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+2b)^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{7}+1)^2-2(\sqrt{7}-1)
\\[3pt]~~~&=&7+2\sqrt{7}+1-2\sqrt{7}+2
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
