このページは、「二重根号の外し方」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の式の \(2\) 重根号をはずして簡単にせよ。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.36 発展 練習1
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\) について、
和が \(7\) 、積が \(10\) となる \(2\) 数は、
\(5+2=7~,~5 {\, \small \times \,} 2=10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(5+2)+2\sqrt{\,5 {\, \small \times \,} 2\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12-2 \cdot 3\sqrt{\,3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12-2\sqrt{\,27\,}\,}\end{eqnarray}\)
和が \(12\) 、積が \(27\) となる \(2\) 数は、
\(9+3=12~,~9 {\, \small \times \,} 3=27\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(9+3)-2\sqrt{\,9 {\, \small \times \,} 3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}-\sqrt{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&3-\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように、中の式の分母分子に \(2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(3+\sqrt{\,5\,}) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6+2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
ここで、分子の二重根号について、和が \(6\) 、積が \(5\) となる \(2\) 数は、
\(5+1=6~,~5 {\, \small \times \,} 1=5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,(5+1)+2\sqrt{\,5 {\, \small \times \,} 1\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,5\,}+1){\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}\,}{\,(\sqrt{\,2\,})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の式の \(2\) 重根号をはずして簡単にせよ。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.35 発展 練習1
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\) について、
和が \(7\) 、積が \(10\) となる \(2\) 数は、
\(5+2=7~,~5 {\, \small \times \,} 2=10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(5+2)+2\sqrt{\,5 {\, \small \times \,} 2\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12-2 \cdot 3\sqrt{\,3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12-2\sqrt{\,27\,}\,}\end{eqnarray}\)
和が \(12\) 、積が \(27\) となる \(2\) 数は、
\(9+3=12~,~9 {\, \small \times \,} 3=27\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(9+3)-2\sqrt{\,9 {\, \small \times \,} 3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}-\sqrt{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&3-\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように、中の式の分母分子に \(2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(2-\sqrt{\,3\,}) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,4-2\sqrt{\,3\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
ここで、分子の二重根号について、和が \(4\) 、積が \(3\) となる \(2\) 数は、
\(3+1=4~,~3 {\, \small \times \,} 1=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,(3+1)-2\sqrt{\,3 {\, \small \times \,} 1\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,3\,}-1){\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}\,}{\,(\sqrt{\,2\,})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の式の \(2\) 重根号をはずして簡単にせよ。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.36 発展 練習1
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\) について、
和が \(7\) 、積が \(10\) となる \(2\) 数は、
\(5+2=7~,~5 {\, \small \times \,} 2=10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,7+2\sqrt{\,10\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(5+2)+2\sqrt{\,5 {\, \small \times \,} 2\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,12-6\sqrt{\,3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12-2 \cdot 3\sqrt{\,3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12-2\sqrt{\,27\,}\,}\end{eqnarray}\)
和が \(12\) 、積が \(27\) となる \(2\) 数は、
\(9+3=12~,~9 {\, \small \times \,} 3=27\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(9+3)-2\sqrt{\,9 {\, \small \times \,} 3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}-\sqrt{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&3-\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように、中の式の分母分子に \(2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(2+\sqrt{\,3\,}) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,4+2\sqrt{\,3\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
ここで、分子の二重根号について、和が \(4\) 、積が \(3\) となる \(2\) 数は、
\(3+1=4~,~3 {\, \small \times \,} 1=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,(3+1)+2\sqrt{\,3 {\, \small \times \,} 1\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,3\,}+1){\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}\,}{\,(\sqrt{\,2\,})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の式の二重根号を外して簡単にせよ。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,4+2\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,6-2\sqrt{\,8\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,7+\sqrt{\,24\,}\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt{\,7-\sqrt{\,48\,}\,}\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\,11+4\sqrt{\,7\,}\,}\)
\({\small (6)}~\)\(\sqrt{\,3-\sqrt{\,5\,}\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,4+2\sqrt{\,3\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,6-2\sqrt{\,8\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,7+\sqrt{\,24\,}\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt{\,7-\sqrt{\,48\,}\,}\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\,11+4\sqrt{\,7\,}\,}\)
\({\small (6)}~\)\(\sqrt{\,3-\sqrt{\,5\,}\,}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.34 発展 問1
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.37 発展 問1
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,4+2\sqrt{\,3\,}\,}\) について、
和が \(4\) 、積が \(3\) となる \(2\) 数は、
\(3+1=4~,~3 {\, \small \times \,} 1=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,4+2\sqrt{\,3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(3+1)+2\sqrt{\,3 {\, \small \times \,} 1\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}+1\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,6-2\sqrt{\,8\,}\,}\) について、
和が \(6\) 、積が \(8\) となる \(2\) 数は、
\(4+2=6~,~4 {\, \small \times \,} 2=8\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,6-2\sqrt{\,8\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(4+2)-2\sqrt{\,4 {\, \small \times \,} 2\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}-\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&2-\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,7+\sqrt{\,24\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,7+\sqrt{\,24\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,7+2\sqrt{\,6\,}\,}\end{eqnarray}\)
和が \(7\) 、積が \(6\) となる \(2\) 数は、
\(6+1=7~,~6 {\, \small \times \,} 1=6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(6+1)+2\sqrt{\,6 {\, \small \times \,} 1\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,6\,}+1\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt{\,7-\sqrt{\,48\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,7-\sqrt{\,48\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,7-2\sqrt{\,12\,}\,}\end{eqnarray}\)
和が \(7\) 、積が \(12\) となる \(2\) 数は、
\(4+3=7~,~4 {\, \small \times \,} 3=12\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(4+3)-2\sqrt{\,4 {\, \small \times \,} 3\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}-\sqrt{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&2-\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\,11+4\sqrt{\,7\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,11+4\sqrt{\,7\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,11+2 \cdot 2\sqrt{\,7\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,11+2\sqrt{\,28\,}\,}\end{eqnarray}\)
和が \(11\) 、積が \(28\) となる \(2\) 数は、
\(7+4=11~,~7 {\, \small \times \,} 4=28\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(7+4)+2\sqrt{\,7 {\, \small \times \,} 4\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,7\,}+\sqrt{\,4\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,7\,}+2\end{eqnarray}\)
\({\small (6)}~\)\(\sqrt{\,3-\sqrt{\,5\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように、中の式の分母分子に \(2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,3-\sqrt{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(3-\sqrt{\,5\,}) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6-2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
ここで、分子の二重根号について、和が \(6\) 、積が \(5\) となる \(2\) 数は、
\(5+1=6~,~5 {\, \small \times \,} 1=5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,(5+1)-2\sqrt{\,5 {\, \small \times \,} 1\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}-1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}-1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,5\,}-1){\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}\,}{\,(\sqrt{\,2\,})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
