このページは、「不等式を満たす整数の解」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
不等式を満たす整数の解 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x\) が負の整数のとき、不等式 \(3x-5 \lt 7(x+1)+4\) を満たす \(x\) の値をすべて求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.47 問題 17
\(3x-5 \lt 7(x+1)+4\) を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~3x-5 &\lt& 7(x+1)+4\\[3pt]~~~3x-5 &\lt& 7x+7+4\\[3pt]~~~3x-5 &\lt& 7x+11\\[3pt]~~~3x-7x &\lt& 11+5\\[3pt]~~~-4x &\lt& 16\\[3pt]~~~x &\gt& -4\end{eqnarray}\)
数直線上に表すと、
\(x\) が負の整数であるので、
範囲内の負の整数は \(x=-3~,~-2~,~-1\)
したがって、\(x=-3~,~-2~,~-1\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02不等式 \(5-x \lt 4x \lt 2x+8~~~\cdots {\small (A)}\) に対して、次の連立不等式を考える。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}5-x \lt 4x\\5-x \lt 2x+8\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(\cdots {\small (B)}\)
このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 連立不等式 \({\small (B)}\) の解のうち、不等式 \({\small (A)}\) を満たさない最小の整数を求めよ。
\({\small (2)}~\) 連立不等式 \({\small (B)}\) を解いて不等式 \({\small (A)}\) の解を求めることができない理由を説明せよ。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}5-x \lt 4x\\5-x \lt 2x+8\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(\cdots {\small (B)}\)
このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 連立不等式 \({\small (B)}\) の解のうち、不等式 \({\small (A)}\) を満たさない最小の整数を求めよ。
\({\small (2)}~\) 連立不等式 \({\small (B)}\) を解いて不等式 \({\small (A)}\) の解を求めることができない理由を説明せよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.48 問題 18
\({\small (1)}~\)不等式 \(5-x \lt 4x \lt 2x+8\) を連立不等式にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}5-x \lt 4x~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\ 4x \lt 2x+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5-x &\lt& 4x\\[3pt]~~~-x-4x &\lt& -5\\[3pt]~~~-5x &\lt& -5\\[3pt]~~~x &\gt& 1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4x &\lt& 2x+8\\[3pt]~~~4x-2x &\lt& 8\\[3pt]~~~2x &\lt& 8\\[3pt]~~~x &\lt& 4\end{eqnarray}\)
数直線上に表すと、
したがって、共通範囲より、不等式 \({\small (A)}\) の解は \(1 \lt x \lt 4\)
次に、連立不等式 \({\small (B)}\) を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}5-x \lt 4x~~~\hspace{7pt}\cdots {\small [\,3\,]}\\5-x \lt 2x+8~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5-x &\lt& 4x\\[3pt]~~~-x-4x &\lt& -5\\[3pt]~~~-5x &\lt& -5\\[3pt]~~~x &\gt& 1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5-x &\lt& 2x+8\\[3pt]~~~-x-2x &\lt& 8-5\\[3pt]~~~-3x &\lt& 3\\[3pt]~~~x &\gt& -1\end{eqnarray}\)
数直線上に表すと、
したがって、共通範囲より、連立不等式 \({\small (B)}\) の解は \(x \gt 1\)
連立不等式 \({\small (B)}\) の解 \(x \gt 1\) のうち、不等式 \({\small (A)}\) の解 \(1 \lt x \lt 4\) を満たさないのは、\(x{\small ~≧~}4\)
範囲内の最小の整数は \(4\) となる
したがって、\(x=4\)
\({\small (2)}~\)
連立不等式 \({\small (B)}\) の解は \(x \gt 1\)
不等式 \({\small (A)}\) の解は \(1 \lt x \lt 4\)
連立不等式 \({\small (B)}\) の解には、\(4x{\small ~≧~}2x+8\) つまり \(x{\small ~≧~}4\) の範囲が含まれてしまう。
したがって、不等式 \({\small (A)}\) は \(4x \lt 2x+8\) を満たすが、連立不等式 \({\small (B)}\) にはこの条件が含まれていないため、連立不等式 \({\small (B)}\) を解いても不等式 \({\small (A)}\) の解を求めることができない。
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の不等式を満たす自然数 \(n\) をすべて求めよ。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n+3)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(4n-1)\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n+3)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(4n-1)\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 5
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n+3)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(4n-1)\) を解くと、
両辺に \(6\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~3(n+3)+1 &\gt& 2(4n-1)\\[3pt]~~~3n+9+1 &\gt& 8n-2\\[3pt]~~~3n+10 &\gt& 8n-2\\[3pt]~~~3n-8n &\gt& -2-10\\[3pt]~~~-5n &\gt& -12\\[5pt]~~~n &\lt& \displaystyle \frac{\,12\,}{\,5\,}=2.4\end{eqnarray}\)
数直線上に表すと、
\(n\) が自然数であるので、
範囲内の自然数は \(n=1~,~2\)
したがって、\(n=1~,~2\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の不等式を満たす最小の自然数 \(n\) を求めよ。
\(600+25(n-20){\small ~≦~}32n\)
\(600+25(n-20){\small ~≦~}32n\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.43 練習46
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.47 練習49
\(600+25(n-20){\small ~≦~}32n\) を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~600+25(n-20) &{\small ~≦~}& 32n\\[3pt]~~~600+25n-500 &{\small ~≦~}& 32n\\[3pt]~~~25n+100 &{\small ~≦~}& 32n\\[3pt]~~~25n-32n &{\small ~≦~}& -100\\[3pt]~~~-7n &{\small ~≦~}& -100\\[5pt]~~~n &{\small ~≧~}& \displaystyle \frac{\,100\,}{\,7\,}=14.28\cdots\end{eqnarray}\)
数直線上に表すと、
\(n\) が自然数なので、
範囲内の最小の自然数は \(15\)
したがって、\(n=15\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の不等式を満たす最大の自然数 \(n\) を求めよ。
\(4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(n-4) \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n\)
\(4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(n-4) \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.43 練習47
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.47 練習50
\(4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(n-4) \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n\) を解くと、
両辺に \(10\) をかけて、
\(\begin{eqnarray}~~~40+2(n-4) &\gt& 5n\\[3pt]~~~40+2n-8 &\gt& 5n\\[3pt]~~~2n+32 &\gt& 5n\\[3pt]~~~2n-5n &\gt& -32\\[3pt]~~~-3n &\gt& -32\\[5pt]~~~n &\lt& \displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}=10.66\cdots\end{eqnarray}\)
数直線上に表すと、
\(n\) が自然数なので、
範囲内の最大の自然数は \(10\)
したがって、\(n=10\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06不等式 \(3(x-1) \lt 2(x+a)\) を満たす最大の整数 \(x\) が \(x=3\) であるとき、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.50 章末問題B 14
\(3(x-1) \lt 2(x+a)\) を \(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~3(x-1) &\lt& 2(x+a)\\[3pt]~~~3x-3 &\lt& 2x+2a\\[3pt]~~~3x-2x &\lt& 2a+3\\[3pt]~~~x &\lt& 2a+3\end{eqnarray}\)
最大の整数 \(x\) が \(3\) なので、
数直線上に表すと、
\(2a+3\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~3 &\lt& 2a+3{\small ~≦~}4\end{eqnarray}\)
※ \(2a+3=3\) のときは、最大の整数が \(2\) となり不適となるので、\(3\) は含まない。
これを解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~3 &\lt& 2a+3{\small ~≦~}4\\[3pt]~~~3-3 &\lt& 2a{\small ~≦~}4-3\\[3pt]~~~0 &\lt& 2a{\small ~≦~}1\\[5pt]~~~0 &\lt& a{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(0 \lt a{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
