このページは、「不等式の整数解の個数の条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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不等式の整数解の個数の条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01不等式 \(4-x{\small ~≦~}3x{\small ~≦~}2x+a\) を満たす整数 \(x\) がちょうど3個存在するような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 練習問題B 13
不等式 \(4-x{\small ~≦~}3x{\small ~≦~}2x+a\) を連立不等式にすると、
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}4-x{\small ~≦~}3x~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\3x{\small ~≦~}2x+a~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
それぞれの不等式を解くと、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4-x&{\small ~≦~}&3x\\[3pt]~~~-x-3x&{\small ~≦~}&-4\\[3pt]~~~-4x&{\small ~≦~}&-4\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x&{\small ~≦~}&2x+a\\[3pt]~~~3x-2x&{\small ~≦~}&a\\[3pt]~~~x&{\small ~≦~}&a\end{eqnarray}\)
整数解がちょうど3個存在するためには、\(a\) が \(3\) と \(4\) の間にあればよいので、
ここで、\(a=4\) のとき、
\(4\) が含まれて整数解が \(x=1~,~2~,~3~,~4\) の4個
\(a=3\) のとき、
\(3\) が含まれて整数解が \(x=1~,~2~,~3\) の3個
したがって、\(3\) 以上で、\(4\) より小さく
\(3{\small ~≦~}a \lt 4\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02不等式 \(-x+8{\small ~≦~}3x{\small ~≦~}x+a\) を満たす整数 \(x\) がちょうど3個であるような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.51 Level Up 10
不等式 \(-x+8{\small ~≦~}3x{\small ~≦~}x+a\) を連立不等式にすると、
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}-x+8{\small ~≦~}3x~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\3x{\small ~≦~}x+a~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
それぞれの不等式を解くと、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-x+8&{\small ~≦~}&3x\\[3pt]~~~-x-3x&{\small ~≦~}&-8\\[3pt]~~~-4x&{\small ~≦~}&-8\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x&{\small ~≦~}&x+a\\[3pt]~~~3x-x&{\small ~≦~}&a\\[3pt]~~~2x&{\small ~≦~}&a\\[5pt]~~~x&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
整数解がちょうど3個存在するためには、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\) が \(4\) と \(5\) の間にあればよいので、
ここで、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}=5\) のとき、
\(5\) が含まれて整数解が \(x=2~,~3~,~4~,~5\) の4個
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}=4\) のとき、
\(4\) が含まれて整数解が \(x=2~,~3~,~4\) の3個
したがって、\(4\) 以上で、\(5\) より小さく
\(\begin{eqnarray}~~~4{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}&\lt&5\\[5pt]~~~8{\small ~≦~}a&\lt&10\end{eqnarray}\)
