このページは、「場合分けが必要な絶対値の方程式・不等式」の練習問題アーカイブページとなります。
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場合分けが必要な絶対値の方程式・不等式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\({\small (1)}~\) 方程式 \(|\,x-3\,|=5x\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,x+2\,| \gt 3x\) を解け。
\({\small (3)}~\) 不等式 \(|\,x-2\,| \lt 2x-1\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,x+2\,| \gt 3x\) を解け。
\({\small (3)}~\) 不等式 \(|\,x-2\,| \lt 2x-1\) を解け。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.46 研究 練習1
\({\small (1)}~\) \(|\,x-3\,|=5x\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-3{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(|\,x-3\,|=x-3\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-3&=&5x\\[3pt]~~~x-5x&=&3\\[3pt]~~~-4x&=&3\\[5pt]~~~x&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これは \(x{\small ~≧~}3\) を満たさないので不適
\({\small [\,2\,]}~x-3 \lt 0\) すなわち \(x \lt 3\) のとき、
\(|\,x-3\,|=-(x-3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x-3)&=&5x\\[3pt]~~~-x+3&=&5x\\[3pt]~~~-x-5x&=&-3\\[3pt]~~~-6x&=&-3\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これは \(x \lt 3\) を満たす
したがって、解は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\) \(|\,x+2\,| \gt 3x\) について、
\({\small [\,1\,]}~x+2{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}-2\) のとき、
\(|\,x+2\,|=x+2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2& \gt &3x\\[3pt]~~~x-3x& \gt &-2\\[3pt]~~~-2x& \gt &-2\end{eqnarray}\)
\(-2\) で両辺を割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-2x\,}{\,-2\,}& \lt &\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,-2\,}\\[5pt]~~~x& \lt &1\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}-2\) との共通範囲は \(-2{\small ~≦~}x \lt 1\)
\({\small [\,2\,]}~x+2 \lt 0\) すなわち \(x \lt -2\) のとき、
\(|\,x+2\,|=-(x+2)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x+2)& \gt &3x\\[3pt]~~~-x-2& \gt &3x\\[3pt]~~~-x-3x& \gt &2\\[3pt]~~~-4x& \gt &2\end{eqnarray}\)
\(-4\) で両辺を割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-4x\,}{\,-4\,}& \lt &\displaystyle \frac{\,2\,}{\,-4\,}\\[5pt]~~~x& \lt &-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt -2\) との共通範囲は \(x \lt -2\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x \lt 1\)
\({\small (3)}~\) \(|\,x-2\,| \lt 2x-1\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-2{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,x-2\,|=x-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2& \lt &2x-1\\[3pt]~~~x-2x& \lt &-1+2\\[3pt]~~~-x& \lt &1\\[3pt]~~~x& \gt &-1\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}2\) との共通範囲は \(x{\small ~≧~}2\)
\({\small [\,2\,]}~x-2 \lt 0\) すなわち \(x \lt 2\) のとき、
\(|\,x-2\,|=-(x-2)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x-2)& \lt &2x-1\\[3pt]~~~-x+2& \lt &2x-1\\[3pt]~~~-x-2x& \lt &-1-2\\[3pt]~~~-3x& \lt &-3\\[3pt]~~~x& \gt &1\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 2\) との共通範囲は \(1 \lt x \lt 2\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x \gt 1\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\small (1)}~\) 方程式 \(|\,x-3\,|=2x\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,x-4\,|{\small ~≦~}2x+1\) を解け。
\({\small (3)}~\) 不等式 \(|\,x+1\,| \gt 5x\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,x-4\,|{\small ~≦~}2x+1\) を解け。
\({\small (3)}~\) 不等式 \(|\,x+1\,| \gt 5x\) を解け。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.47 研究 練習2
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.50 研究 練習2
\({\small (1)}~\) \(|\,x-3\,|=2x\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-3{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(|\,x-3\,|=x-3\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-3&=&2x\\[3pt]~~~x-2x&=&3\\[3pt]~~~-x&=&3\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
これは \(x{\small ~≧~}3\) を満たさないので不適
\({\small [\,2\,]}~x-3 \lt 0\) すなわち \(x \lt 3\) のとき、
\(|\,x-3\,|=-(x-3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x-3)&=&2x\\[3pt]~~~-x+3&=&2x\\[3pt]~~~-x-2x&=&-3\\[3pt]~~~-3x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
これは \(x \lt 3\) を満たす
したがって、解は \(x=1\)
\({\small (2)}~\) \(|\,x-4\,|{\small ~≦~}2x+1\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-4{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}4\) のとき、
\(|\,x-4\,|=x-4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-4&{\small ~≦~}&2x+1\\[3pt]~~~x-2x&{\small ~≦~}&1+4\\[3pt]~~~-x&{\small ~≦~}&5\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&-5\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}4\) との共通範囲は \(x{\small ~≧~}4\)
\({\small [\,2\,]}~x-4 \lt 0\) すなわち \(x \lt 4\) のとき、
\(|\,x-4\,|=-(x-4)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x-4)&{\small ~≦~}&2x+1\\[3pt]~~~-x+4&{\small ~≦~}&2x+1\\[3pt]~~~-x-2x&{\small ~≦~}&1-4\\[3pt]~~~-3x&{\small ~≦~}&-3\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&1\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 4\) との共通範囲は \(1{\small ~≦~}x \lt 4\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x{\small ~≧~}1\)
\({\small (3)}~\) \(|\,x+1\,| \gt 5x\) について、
\({\small [\,1\,]}~x+1{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}-1\) のとき、
\(|\,x+1\,|=x+1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x+1& \gt &5x\\[3pt]~~~x-5x& \gt &-1\\[3pt]~~~-4x& \gt &-1\end{eqnarray}\)
\(-4\) で両辺を割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-4x\,}{\,-4\,}& \lt &\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,-4\,}\\[5pt]~~~x& \lt &\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}-1\) との共通範囲は \(-1{\small ~≦~}x \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\({\small [\,2\,]}~x+1 \lt 0\) すなわち \(x \lt -1\) のとき、
\(|\,x+1\,|=-(x+1)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x+1)& \gt &5x\\[3pt]~~~-x-1& \gt &5x\\[3pt]~~~-x-5x& \gt &1\\[3pt]~~~-6x& \gt &1\end{eqnarray}\)
\(-6\) で両辺を割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-6x\,}{\,-6\,}& \lt &\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-6\,}\\[5pt]~~~x& \lt &-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt -1\) との共通範囲は \(x \lt -1\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\({\small (1)}~\) 方程式 \(|\,2x-4\,|=x+1\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,2x-4\,| \gt x+1\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,2x-4\,| \gt x+1\) を解け。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.48 問題 17
\({\small (1)}~\) \(|\,2x-4\,|=x+1\) について、
\({\small [\,1\,]}~2x-4{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=2x-4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-4&=&x+1\\[3pt]~~~2x-x&=&1+4\\[3pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)
これは \(x{\small ~≧~}2\) を満たす
\({\small [\,2\,]}~2x-4 \lt 0\) すなわち \(x \lt 2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=-(2x-4)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(2x-4)&=&x+1\\[3pt]~~~-2x+4&=&x+1\\[3pt]~~~-2x-x&=&1-4\\[3pt]~~~-3x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
これは \(x \lt 2\) を満たす
したがって、解は \(x=1~,~5\)
\({\small (2)}~\) \(|\,2x-4\,| \gt x+1\) について、
\({\small [\,1\,]}~2x-4{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=2x-4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-4& \gt &x+1\\[3pt]~~~2x-x& \gt &1+4\\[3pt]~~~x& \gt &5\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}2\) との共通範囲は \(x \gt 5\)
\({\small [\,2\,]}~2x-4 \lt 0\) すなわち \(x \lt 2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=-(2x-4)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(2x-4)& \gt &x+1\\[3pt]~~~-2x+4& \gt &x+1\\[3pt]~~~-2x-x& \gt &1-4\\[3pt]~~~-3x& \gt &-3\\[3pt]~~~x& \lt &1\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 2\) との共通範囲は \(x \lt 1\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x \lt 1~,~x \gt 5\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\({\small (1)}~\) 方程式 \(|\,2x-4\,|=x+1\) を解け。
\({\small (2)}~\) 方程式 \(|\,x+4\,|=3x\) を解け。
\({\small (2)}~\) 方程式 \(|\,x+4\,|=3x\) を解け。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.44 参考 問1
\({\small (1)}~\) \(|\,2x-4\,|=x+1\) について、
\({\small [\,1\,]}~2x-4{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=2x-4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-4&=&x+1\\[3pt]~~~2x-x&=&1+4\\[3pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)
これは \(x{\small ~≧~}2\) を満たす
\({\small [\,2\,]}~2x-4 \lt 0\) すなわち \(x \lt 2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=-(2x-4)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(2x-4)&=&x+1\\[3pt]~~~-2x+4&=&x+1\\[3pt]~~~-2x-x&=&1-4\\[3pt]~~~-3x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
これは \(x \lt 2\) を満たす
したがって、解は \(x=1~,~5\)
\({\small (2)}~\) \(|\,x+4\,|=3x\) について、
\({\small [\,1\,]}~x+4{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}-4\) のとき、
\(|\,x+4\,|=x+4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x+4&=&3x\\[3pt]~~~x-3x&=&-4\\[3pt]~~~-2x&=&-4\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
これは \(x{\small ~≧~}-4\) を満たす
\({\small [\,2\,]}~x+4 \lt 0\) すなわち \(x \lt -4\) のとき、
\(|\,x+4\,|=-(x+4)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x+4)&=&3x\\[3pt]~~~-x-4&=&3x\\[3pt]~~~-x-3x&=&4\\[3pt]~~~-4x&=&4\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
これは \(x \lt -4\) を満たさないので不適
したがって、解は \(x=2\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\({\small (1)}~\) 不等式 \(|\,2x-4\,|{\small ~≦~}x+1\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,3x-6\,| \gt x+2\) を解け。
\({\small (3)}~\) 不等式 \(|\,x+4\,| \lt -3x\) を解け。
\({\small (2)}~\) 不等式 \(|\,3x-6\,| \gt x+2\) を解け。
\({\small (3)}~\) 不等式 \(|\,x+4\,| \lt -3x\) を解け。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.45 参考 問2
\({\small (1)}~\) \(|\,2x-4\,|{\small ~≦~}x+1\) について、
\({\small [\,1\,]}~2x-4{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=2x-4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-4&{\small ~≦~}&x+1\\[3pt]~~~2x-x&{\small ~≦~}&1+4\\[3pt]~~~x&{\small ~≦~}&5\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}2\) との共通範囲は \(2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\)
\({\small [\,2\,]}~2x-4 \lt 0\) すなわち \(x \lt 2\) のとき、
\(|\,2x-4\,|=-(2x-4)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(2x-4)&{\small ~≦~}&x+1\\[3pt]~~~-2x+4&{\small ~≦~}&x+1\\[3pt]~~~-2x-x&{\small ~≦~}&1-4\\[3pt]~~~-3x&{\small ~≦~}&-3\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&1\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 2\) との共通範囲は \(1{\small ~≦~}x \lt 2\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\)
\({\small (2)}~\) \(|\,3x-6\,| \gt x+2\) について、
\({\small [\,1\,]}~3x-6{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,3x-6\,|=3x-6\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~3x-6& \gt &x+2\\[3pt]~~~3x-x& \gt &2+6\\[3pt]~~~2x& \gt &8\\[3pt]~~~x& \gt &4\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}2\) との共通範囲は \(x \gt 4\)
\({\small [\,2\,]}~3x-6 \lt 0\) すなわち \(x \lt 2\) のとき、
\(|\,3x-6\,|=-(3x-6)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(3x-6)& \gt &x+2\\[3pt]~~~-3x+6& \gt &x+2\\[3pt]~~~-3x-x& \gt &2-6\\[3pt]~~~-4x& \gt &-4\\[3pt]~~~x& \lt &1\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 2\) との共通範囲は \(x \lt 1\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x \lt 1~,~x \gt 4\)
\({\small (3)}~\) \(|\,x+4\,| \lt -3x\) について、
\({\small [\,1\,]}~x+4{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}-4\) のとき、
\(|\,x+4\,|=x+4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x+4& \lt &-3x\\[3pt]~~~x+3x& \lt &-4\\[3pt]~~~4x& \lt &-4\\[3pt]~~~x& \lt &-1\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}-4\) との共通範囲は \(-4{\small ~≦~}x \lt -1\)
\({\small [\,2\,]}~x+4 \lt 0\) すなわち \(x \lt -4\) のとき、
\(|\,x+4\,|=-(x+4)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x+4)& \lt &-3x\\[3pt]~~~-x-4& \lt &-3x\\[3pt]~~~-x+3x& \lt &4\\[3pt]~~~2x& \lt &4\\[3pt]~~~x& \lt &2\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt -4\) との共通範囲は \(x \lt -4\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x \lt -1\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06方程式 \(|\,x-5\,|=2x-1\) を解け。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.49 参考 問4
\(|\,x-5\,|=2x-1\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-5{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}5\) のとき、
\(|\,x-5\,|=x-5\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-5&=&2x-1\\[3pt]~~~x-2x&=&-1+5\\[3pt]~~~-x&=&4\\[3pt]~~~x&=&-4\end{eqnarray}\)
これは \(x{\small ~≧~}5\) を満たさないので不適
\({\small [\,2\,]}~x-5 \lt 0\) すなわち \(x \lt 5\) のとき、
\(|\,x-5\,|=-(x-5)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x-5)&=&2x-1\\[3pt]~~~-x+5&=&2x-1\\[3pt]~~~-x-2x&=&-1-5\\[3pt]~~~-3x&=&-6\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
これは \(x \lt 5\) を満たす
したがって、解は \(x=2\)
