このページは、「複数の絶対値を含む方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
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複数の絶対値を含む方程式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01方程式 \(|\,x\,|+2|\,x-2\,|=x+2\) を解け。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 演習問題B 12
\(|\,x\,|\) は \(x=0\) の前後で、
\(|\,x-2\,|\) は \(x=2\) の前後で、
絶対値の中の正負が変わることより、
\({\small [\,1\,]}~x\lt 0\) のとき、
\(|\,x\,|=-x~,~|\,x-2\,|=-(x-2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+2|\,x-2\,|&=&x+2\\[3pt]~~~-x+2\{-(x-2)\}&=&x+2\\[3pt]~~~-x-2(x-2)&=&x+2\\[3pt]~~~-x-2x+4&=&x+2\\[3pt]~~~-3x-x&=&2-4\\[3pt]~~~-4x&=&-2\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これは、\(x\lt 0\) を満たさないので不適
\({\small [\,2\,]}~0{\small ~≦~}x\lt 2\) のとき、
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-2\,|=-(x-2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+2|\,x-2\,|&=&x+2\\[3pt]~~~x+2\{-(x-2)\}&=&x+2\\[3pt]~~~x-2(x-2)&=&x+2\\[3pt]~~~x-2x+4&=&x+2\\[3pt]~~~-x-x&=&2-4\\[3pt]~~~-2x&=&-2\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
これは、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\) を満たす
\({\small [\,3\,]}~x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-2\,|=x-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+2|\,x-2\,|&=&x+2\\[3pt]~~~x+2(x-2)&=&x+2\\[3pt]~~~x+2x-4&=&x+2\\[3pt]~~~3x-x&=&2+4\\[3pt]~~~2x&=&6\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
これは、\(x{\small ~≧~}2\) を満たす
したがって、解は \(x=1~,~3\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02方程式 \(|\,x\,|+|\,x-2\,|=4\) を解け。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.50 章末問題B 15
\(|\,x\,|\) は \(x=0\) の前後で、
\(|\,x-2\,|\) は \(x=2\) の前後で、
絶対値の中の正負が変わることより、
\({\small [\,1\,]}~x\lt 0\) のとき、
\(|\,x\,|=-x~,~|\,x-2\,|=-(x-2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+|\,x-2\,|&=&4\\[3pt]~~~-x-(x-2)&=&4\\[3pt]~~~-x-x+2&=&4\\[3pt]~~~-2x&=&2\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
これは、\(x\lt 0\) を満たす
\({\small [\,2\,]}~0{\small ~≦~}x\lt 2\) のとき、
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-2\,|=-(x-2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+|\,x-2\,|&=&4\\[3pt]~~~x-(x-2)&=&4\\[3pt]~~~x-x+2&=&4\\[3pt]~~~2&=&4\end{eqnarray}\)
これは成り立たないので不適
\({\small [\,3\,]}~x{\small ~≧~}2\) のとき、
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-2\,|=x-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+|\,x-2\,|&=&4\\[3pt]~~~x+x-2&=&4\\[3pt]~~~2x&=&6\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
これは、\(x{\small ~≧~}2\) を満たす
したがって、解は \(x=-1~,~3\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(|\,x-1\,|+|\,x-3\,|=6\)
\({\small (2)}~\)\(|\,x-1\,|+|\,x-3\,|\lt 6\)
\({\small (1)}~\)\(|\,x-1\,|+|\,x-3\,|=6\)
\({\small (2)}~\)\(|\,x-1\,|+|\,x-3\,|\lt 6\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.11 練習問題B 14
\({\small (1)}~\)
\(|\,x-1\,|\) は \(x=1\) の前後で、
\(|\,x-3\,|\) は \(x=3\) の前後で、
絶対値の中の正負が変わることより、
\({\small [\,1\,]}~x\lt 1\) のとき、
\(|\,x-1\,|=-(x-1)~,~|\,x-3\,|=-(x-3)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|+|\,x-3\,|&=&6\\[3pt]~~~-(x-1)-(x-3)&=&6\\[3pt]~~~-x+1-x+3&=&6\\[3pt]~~~-2x&=&2\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
これは、\(x\lt 1\) を満たす
\({\small [\,2\,]}~1{\small ~≦~}x\lt 3\) のとき、
\(|\,x-1\,|=x-1~,~|\,x-3\,|=-(x-3)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|+|\,x-3\,|&=&6\\[3pt]~~~(x-1)-(x-3)&=&6\\[3pt]~~~x-1-x+3&=&6\\[3pt]~~~2&=&6\end{eqnarray}\)
これは成り立たないので不適
\({\small [\,3\,]}~x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(|\,x-1\,|=x-1~,~|\,x-3\,|=x-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|+|\,x-3\,|&=&6\\[3pt]~~~(x-1)+(x-3)&=&6\\[3pt]~~~2x-4&=&6\\[3pt]~~~2x&=&10\\[3pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)
これは、\(x{\small ~≧~}3\) を満たす
したがって、解は \(x=-1~,~5\) となる
\({\small (2)}~\)
\(|\,x-1\,|\) は \(x=1\) の前後で、
\(|\,x-3\,|\) は \(x=3\) の前後で、
絶対値の中の正負が変わることより、
\({\small [\,1\,]}~x\lt 1\) のとき、
\(|\,x-1\,|=-(x-1)~,~|\,x-3\,|=-(x-3)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|+|\,x-3\,|&\lt&6\\[3pt]~~~-(x-1)-(x-3)&\lt&6\\[3pt]~~~-x+1-x+3&\lt&6\\[3pt]~~~-2x&\lt&2\\[3pt]~~~x&\gt&-1\end{eqnarray}\)
\(x\lt 1\) との共通範囲より、\(-1\lt x\lt 1\)
\({\small [\,2\,]}~1{\small ~≦~}x\lt 3\) のとき、
\(|\,x-1\,|=x-1~,~|\,x-3\,|=-(x-3)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|+|\,x-3\,|&\lt&6\\[3pt]~~~(x-1)-(x-3)&\lt&6\\[3pt]~~~x-1-x+3&\lt&6\\[3pt]~~~2&\lt&6\end{eqnarray}\)
これは常に成り立つので、\(1{\small ~≦~}x\lt 3\)
\({\small [\,3\,]}~x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(|\,x-1\,|=x-1~,~|\,x-3\,|=x-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-1\,|+|\,x-3\,|&\lt&6\\[3pt]~~~(x-1)+(x-3)&\lt&6\\[3pt]~~~2x-4&\lt&6\\[3pt]~~~2x&\lt&10\\[3pt]~~~x&\lt&5\end{eqnarray}\)
\(x{\small ~≧~}3\) との共通範囲より、\(3{\small ~≦~}x\lt 5\)
したがって、解は \(-1\lt x\lt 5\) となる
