このページは、「絶対値を含む不等式の整数解」の練習問題アーカイブページとなります。
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絶対値を含む不等式の整数解 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a\) を正の定数として、次の不等式を考える。
\(|\,2x-3\,|{\small ~≦~}a~~~\cdots~①\)
\({\small (1)}~\) 不等式①の解を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(a=4\) のとき、不等式①を満たす整数 \(x\) は何個存在するか。
\({\small (3)}~\) 不等式①を満たす整数 \(x\) がちょうど6個存在するような \(a\) の値の範囲を求めよ。
\(|\,2x-3\,|{\small ~≦~}a~~~\cdots~①\)
\({\small (1)}~\) 不等式①の解を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(a=4\) のとき、不等式①を満たす整数 \(x\) は何個存在するか。
\({\small (3)}~\) 不等式①を満たす整数 \(x\) がちょうど6個存在するような \(a\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 演習問題B 13
\({\small (1)}~\)\(|\,2x-3\,|{\small ~≦~}a\) の絶対値を外して表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~-a &{\small ~≦~}& 2x-3{\small ~≦~}a\\[3pt]~~~-a+3 &{\small ~≦~}& 2x{\small ~≦~}a+3\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,-a+3\,}{\,2\,} &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,2x\,}{\,2\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,a+3\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,-a+3\,}{\,2\,} &{\small ~≦~}& x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,a+3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,-a+3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,a+3\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\)\(a=4\) を \({\small (1)}\) の結果に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-4+3\,}{\,2\,} &{\small ~≦~}& x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} &{\small ~≦~}& x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
範囲内の整数解は、\(x=0~,~1~,~2~,~3\)
したがって、整数は \(4\) 個存在する
\({\small (3)}~\)
\({\small (1)}\) より、\(\displaystyle \frac{\,-a+3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,a+3\,}{\,2\,}\) である。
整数解がちょうど6個存在するためには、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) を中心に左右 \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\) の範囲に整数が6個あればよい
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) 以上の整数は \(x=2~,~3~,~4\) の3個、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) 以下の整数は \(x=1~,~0~,~-1\) の3個
となればよい
左端について、\(-1\) を含み \(-2\) を含まないので、
\(\begin{eqnarray}~~~-2 &\lt& \displaystyle \frac{\,-a+3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}-1\end{eqnarray}\)
右端について、\(4\) を含み \(5\) を含まないので、
\(\begin{eqnarray}~~~4 &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,a+3\,}{\,2\,} \lt 5\end{eqnarray}\)
左端の不等式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~-2 &\lt& \displaystyle \frac{\,-a+3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}-1\\[5pt]~~~-4 &\lt& -a+3{\small ~≦~}-2\\[3pt]~~~-4-3 &\lt& -a{\small ~≦~}-2-3\\[3pt]~~~-7 &\lt& -a{\small ~≦~}-5\\[3pt]~~~5 &{\small ~≦~}& a \lt 7\end{eqnarray}\)
右端の不等式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~4 &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,a+3\,}{\,2\,} \lt 5\\[5pt]~~~8 &{\small ~≦~}& a+3 \lt 10\\[3pt]~~~5 &{\small ~≦~}& a \lt 7\end{eqnarray}\)
したがって、\(5{\small ~≦~}a \lt 7\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02不等式 \(|\,4x+2\,| \lt 11\) を満たす整数 \(x\) の個数を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 7
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.52 章末問題A 7
\(|\,4x+2\,| \lt 11\) の絶対値を外して表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~-11 &\lt& 4x+2 \lt 11\\[3pt]~~~-11-2 &\lt& 4x \lt 11-2\\[3pt]~~~-13 &\lt& 4x \lt 9\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,13\,}{\,4\,} &\lt& \displaystyle \frac{\,4x\,}{\,4\,} \lt \displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,13\,}{\,4\,} &\lt& x \lt \displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
範囲内の整数解は、\(x=-3~,~-2~,~-1~,~0~,~1~,~2\)
したがって、整数 \(x\) の個数は \(6\) 個である
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03不等式 \(6x-4 \gt 8x-9\) を満たす \(x\) の値のうち、絶対値が5以下の整数をすべて求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.461 問題 14
\(6x-4 \gt 8x-9\) を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~6x-4 &\gt& 8x-9\\[3pt]~~~6x-8x &\gt& -9+4\\[3pt]~~~-2x &\gt& -5\\[5pt]~~~x &\lt& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
絶対値が5以下の整数は、\(|\,x\,|{\small ~≦~}5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\end{eqnarray}\)
\(x \lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) と \(-5{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\) の共通範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~-5{\small ~≦~}x \lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=-5~,~-4~,~-3~,~-2~,~-1~,~0~,~1~,~2\)
