- 数学Ⅰ｜集合と論理「すべての部分集合と空集合」の基本例題解説ページです。
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問題｜すべての部分集合と空集合
集合と論理 04集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合をすべて求める方法は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
すべての部分集合と空集合
Point：すべての部分集合と空集合
\(\small [\,1\,]\) 要素を持たない場合
空集合 \(\varnothing\) も部分集合となる。
\(\small [\,2\,]\) 要素を \(1\) 含む組合せ
\(\{\,1\,\}~,~\{\,2\,\}~,~\{\,3\,\}\)
\(\small [\,3\,]\) 要素を \(2\) 含む組合せ
\(\{\,1~,~2\,\}~,~\{\,2~,~3\,\}~,~\{\,1~,~3\,\}\)
\(\small [\,4\,]\) 要素をすべて含む場合
\(\{\,1~,~2~,~3\,\}\)
※ もとの集合 \(A\) と同じ集合も部分集合である。
集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合のすべての求め方は、各要素の個数で場合分けをすると
\(\small [\,1\,]\) 要素を持たない場合
空集合 \(\varnothing\) も部分集合となる。
\(\small [\,2\,]\) 要素を \(1\) 含む組合せ
\(\{\,1\,\}~,~\{\,2\,\}~,~\{\,3\,\}\)
\(\small [\,3\,]\) 要素を \(2\) 含む組合せ
\(\{\,1~,~2\,\}~,~\{\,2~,~3\,\}~,~\{\,1~,~3\,\}\)
\(\small [\,4\,]\) 要素をすべて含む場合
\(\{\,1~,~2~,~3\,\}\)
※ もとの集合 \(A\) と同じ集合も部分集合である。
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詳しい解説｜すべての部分集合と空集合
集合と論理 04
集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合をすべて求める方法は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) について、部分集合の要素に含まれるかの組合せを調べると、
\(\begin{array}{c|ccc}
A & 1 & 2 & 3 \\[3pt]
\hline
~{\small [\,1\,]}~ & × & × & × \\[3pt]
\hline
& ○ & × & × \\[3pt]
~{\small [\,2\,]}~ & × & ○ & × \\[3pt]
& × & × & ○ \\[3pt]
\hline
& ○ & ○ & × \\[3pt]
~{\small [\,3\,]}~ & × & ○ & ○ \\[3pt]
& ○ & × & ○ \\[3pt]
\hline
~{\small [\,4\,]}~ & ○ & ○ & ○
\end{array}\)
\({\small [\,1\,]}\) どの要素も含まない場合
空集合も部分集合になるので \(\varnothing\)
\({\small [\,2\,]}\) 要素を \(1\) つだけ含む場合
\(\{\,1\,\}~,~\{\,2\,\}~,~\{\,3\,\}\)
\({\small [\,3\,]}\) 要素を \(2\) つ含む場合
\(\{\,1~,~2\,\}~,~\{\,2~,~3\,\}~,~\{\,1~,~3\,\}\)
\({\small [\,4\,]}\) すべての要素を含む場合
\(\{\,1~,~2~,~3\,\}\)
したがって、部分集合は、
\(\varnothing~,~\{\,1\,\}~,~\{\,2\,\}~,~\{\,3\,\}~,~\)
\(\{\,1~,~2\,\}~,~\{\,2~,~3\,\}~,~\{\,1~,~3\,\}~,~\{\,1~,~2~,~3\,\}\)
