- 数学Ⅰ｜集合と論理「集合の共通部分と和集合」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜集合の共通部分と和集合
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
集合の共通部分と和集合
\(2\) つの集合 \(A~,~\)\(B\) について、
■ 共通部分 \(A \cap B\)
どちらにも属する集合で「\(A\) かつ \(B\)」という。
■ 和集合 \(A \cup B\)
少なくとも一方に属する集合で「\(A\) または \(B\)」という。
※ \(2\) つの集合の要素で比較する表や、ベン図で書くとよい。
\(\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\[3pt]
\hline
~A~ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & &
\end{array}\)
※ \(3\) つの集合の共通部分・和集合も同様に考える。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜集合の共通部分と和集合
\(A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\}~,~\)\(B=\{\,1~,~2~,~3~,~6\,\}\) のとき、共通部分 \(A \cap B\) と和集合 \(A \cup B\) の求め方は？さらに、\(C=\{\,1~,~2~,~8~,~9\,\}\) のとき、共通部分 \(A \cap B \cap C\) と和集合 \(A \cup B \cup C\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
\(2\) つの集合 \(A~,~\)\(B\) の要素は、
\(\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\[3pt]
\hline
~A~ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & &
\end{array}\)
これより、共通部分 \(A \cap B\) は、
\(\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\[3pt]
\hline
~A~ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & \\[3pt]
\hline
~A \cap B~ & & ◎ & & & & ◎ & &
\end{array}\)
よって、
\(A \cap B=\{\,2~,~6\,\}\)
また、和集合 \(A \cup B\) は、
\(\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\[3pt]
\hline
~A~ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & \\[3pt]
\hline
~A \cup B~ & ● & ● & ● & ● & & ● & & ●
\end{array}\)
よって、
\(A \cup B=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~8\,\}\)
\(3\) つの集合 \(A~,~\)\(B~,~\)\(C\) の要素は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
~A~ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
C & ○ & ○ & & & & & & ○ & ○
\end{array}\)
これより、共通部分 \(A \cap B \cap C\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
~A~ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
C & ○ & ○ & & & & & & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
& & ◎ & & & & & & &
\end{array}\)
よって、
\(A \cap B \cap C=\{\,2\,\}\)
また、和集合 \(A \cup B \cup C\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
~A~ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
C & ○ & ○ & & & & & & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
& ● & ● & ● & ● & & ● & & ● & ●
\end{array}\)
よって、
\(A \cup B \cup C=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~8~,~9\,\}\)
