このページは、「補集合とド・モルガンの法則」の練習問題アーカイブページとなります。
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補集合とド・モルガンの法則 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\) が成り立つことを図を用いて確かめよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.57 練習8
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.57 練習8
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.61 練習9
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.60 問11
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.58 問7
[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\) が成り立つことを図を用いて確かめよ。
[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは和集合 \(A \cup B\) の補集合 \(\overline{A \cup B}\) であるので、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
が成り立つ [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\,\}\) を全体集合とするとき、その部分集合 \(A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\}~,~\)\(B=\{\,3~,~6~,~9\,\}\) について、\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)、\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\) が成り立つことを確かめよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.57 練習9
例 \(6\) より、
\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\,\}\)
\(A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\}~,~\)\(B=\{\,3~,~6~,~9\,\}\)
これより、全体集合 \(U\) の中に集合 \(A~,~\)\(B\) の要素は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
~U~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & & & ○ & & & ○ & & & ○
\end{array}\)
\(A\) の補集合 \(\overline{A}\) は、\(A\) に属さない集合であるので、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
~\overline{A}~ & ● & & ● & & ● & & ● & & ●
\end{array}\)
これより、
\(\overline{A}=\{\,1~,~3~,~5~,~7~,~9\,\}\)
\(B\) の補集合 \(\overline{B}\) は、\(B\) に属さない集合であるので、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
B & & & ○ & & & ○ & & & ○ \\[3pt]
\hline
~\overline{B}~ & ● & ● & & ● & ● & & ● & ● &
\end{array}\)
これより、
\(\overline{B}=\{\,1~,~2~,~4~,~5~,~7~,~8\,\}\)
和集合 \(A \cup B\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & & & ○ & & & ○ & & & ○ \\[3pt]
\hline
~A \cup B~ & & ● & ● & ● & & ● & & ● & ●
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & & & ○ & & & ○ & & & ○ \\[3pt]
\hline
~A \cup B~ & & ● & ● & ● & & ● & & ● & ●
\end{array}\)
これより、
\(A \cup B=\{\,2~,~3~,~4~,~6~,~8~,~9\,\}\)
集合 \(\overline{A \cup B}\) は、\(A \cup B\) に属さない集合であるので、
\(\overline{A \cup B}=\{\,1~,~5~,~7\,\}\)
ここで、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & ○ & ○ & & ○ & ○ & & ○ & ○ & \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap \overline{B}~ & ◎ & & & & ◎ & & ◎ & &
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & ○ & ○ & & ○ & ○ & & ○ & ○ & \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap \overline{B}~ & ◎ & & & & ◎ & & ◎ & &
\end{array}\)
これより、
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,1~,~5~,~7\,\}\)
したがって、\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\) が成り立つ
共通部分 \(A \cap B\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & & & ○ & & & ○ & & & ○ \\[3pt]
\hline
~A \cap B~ & & & & & & ◎ & & &
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & & & ○ & & & ○ & & & ○ \\[3pt]
\hline
~A \cap B~ & & & & & & ◎ & & &
\end{array}\)
これより、
\(A \cap B=\{\,6\,\}\)
集合 \(\overline{A \cap B}\) は、\(A \cap B\) に属さない集合であるので、
\(\overline{A \cap B}=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~7~,~8~,~9\,\}\)
ここで、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & ○ & ○ & & ○ & ○ & & ○ & ○ & \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cup \overline{B}~ & ● & ● & ● & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & ○ & ○ & & ○ & ○ & & ○ & ○ & \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cup \overline{B}~ & ● & ● & ● & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
これより、
\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~7~,~8~,~9\,\}\)
したがって、\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\) が成り立つ
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(A \subset B\) ならば \(\overline{A} \supset \overline{B}\) であることを図を用いて確かめよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.59 問10
[証明] \(A \subset B\) のとき、\(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
集合 \(\overline{B}\) は集合 \(\overline{A}\) の部分集合となるので、
\(A \subset B\) ならば \(\overline{A} \supset \overline{B}\) [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(A \cap B=\varnothing\) のときや、\(A \subset B\) のときにも、ド・モルガンの法則が成り立つことを、それぞれ図を用いて確かめよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.60 問題 2
\(A \cap B=\varnothing\) のとき
[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
次に、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは和集合 \(A \cup B\) の補集合 \(\overline{A \cup B}\) であるので、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
が成り立つ [終]
\(A \subset B\) のとき
[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
次に、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは和集合 \(A \cup B\) の補集合 \(\overline{A \cup B}\) であるので、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
が成り立つ [終]
