- 数学Ⅰ｜集合と論理「不等式で表される集合」の基本例題解説ページです。
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問題｜不等式で表される集合
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
不等式で表される集合
不等式で表される集合は数直線上に表して考える。
\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}\)
補集合は、\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\) でない範囲より、
\(\overline{A}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~5 \lt x\,\}\)
共通部分は、数直線上の共通範囲より、
\(A \cap B=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x \lt 3\,\}\)
和集合は、数直線上の合わせた範囲より、
\(A \cup B=\{\,x\,|\,x{\small ~≦~}5\,\}\)
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詳しい解説｜不等式で表される集合
実数全体を全体集合として、\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}~,~\)\(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) のとき、集合 \(\overline{A}~,~\)\(\overline{B}~,~\)\(A \cap B~,~\)\(A \cup B~,~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}~,~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}~,~\)\(\overline{A} \cap B~,~\)\(\overline{A} \cup B\) の表し方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
集合 \(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}\) の補集合は、
これより、
\(\overline{A}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~5 \lt x\,\}\)
集合 \(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) の補集合は、
これより、
\(\overline{B}=\{\,x\,|\,x{\small ~≧~}3\,\}\)
\(A \cap B\) は共通部分より、
\(A \cap B=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x \lt 3\,\}\)
\(A \cup B\) は和集合より、
\(A \cup B=\{\,x\,|\,x{\small ~≦~}5\,\}\)
\(\overline{A \cup B}\) はド・モルガンの法則より、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
\(A \cup B=\{\,x\,|\,x{\small ~≦~}5\,\}\) より、
\(\overline{A \cup B}=\{\,x\,|\,5 \lt x\,\}\)
したがって、
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,x\,|\,5 \lt x\,\}\)
\(\overline{A \cap B}\) はド・モルガンの法則より、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
\(A \cap B=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x \lt 3\,\}\) より、
\(\overline{A \cap B}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~3{\small ~≦~}x\,\}\)
したがって、
\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~3{\small ~≦~}x\,\}\)
\(\overline{A} \cap B\) は、\(\overline{A}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~5 \lt x\,\}\) と \(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) の共通部分より、
\(\overline{A} \cap B=\{\,x\,|\,x \lt 1\,\}\)
\(\overline{A} \cup B\) は、\(\overline{A}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~5 \lt x\,\}\) と \(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) の和集合より、
\(\overline{A} \cup B=\{\,x\,|\,x \lt 3~,~5 \lt x\,\}\)
