このページは、「文字式の要素を含む集合」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01整数全体を全体集合 \(U\) とし、\(U\) の部分集合 \(A~,~\)\(B\) を
\(A=\{\,2~,~6~,~a^2+3\,\}\)
\(B=\{\,3~,~7~,~a~,~a+4\,\}\)
とする。\(A \cap B=\{\,2~,~7\,\}\) であるとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 定数 \(a\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(A \cup B\) を求めよ。
\({\small (3)}~\) \(\overline{A} \cap B\) を求めよ。
\(A=\{\,2~,~6~,~a^2+3\,\}\)
\(B=\{\,3~,~7~,~a~,~a+4\,\}\)
とする。\(A \cap B=\{\,2~,~7\,\}\) であるとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 定数 \(a\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(A \cup B\) を求めよ。
\({\small (3)}~\) \(\overline{A} \cap B\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.70 演習問題A 1
\({\small (1)}~\)\(2\) つの集合 \(A~,~\)\(B\) と共通部分の条件について、
共通部分の要素が \(2~,~7\) より、集合 \(A\) の \(a^2+3\) が \(7\) 、集合 \(B\) の \(a\) または \(a+4\) が \(2\) となる
\({\small [\,1\,]}\) \(a=2\) のとき
集合 \(A\) は、
\(a^2+3=2^2+3=7\) より、
\(A=\{\,2~,~6~,~7\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(a+4=2+4=6\) より、
\(B=\{\,2~,~3~,~6~,~7\,\}\)
よって、共通部分は \(A \cap B=\{\,2~,~6~,~7\,\}\) となり条件を満たさない
\({\small [\,2\,]}\) \(a+4=2\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~a+4&=&2\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
集合 \(A\) は、
\(a^2+3=(-2)^2+3=7\) より、
\(A=\{\,2~,~6~,~7\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(B=\{\,-2~,~2~,~3~,~7\,\}\)
よって、共通部分は \(A \cap B=\{\,2~,~7\,\}\) となり条件を満たす
したがって、\(a=-2\) である
\({\small (2)}~\)\(a=-2\) より、
\(A=\{\,2~,~6~,~7\,\}~,~\)\(B=\{\,-2~,~2~,~3~,~7\,\}\)
集合 \(A~,~\)\(B\) の要素は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
& -2 & 2 & 3 & 6 & 7 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & ○
\end{array}\)
よって、和集合 \(A \cup B\) は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
& -2 & 2 & 3 & 6 & 7 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
A \cup B & ● & ● & ● & ● & ●
\end{array}\)
したがって、
\(A \cup B=\{\,-2~,~2~,~3~,~6~,~7\,\}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A}\) は集合 \(A\) に属さない集合であるので、
\(\overline{A} \cap B\) は、集合 \(B\) の要素のうち集合 \(A\) に属さないものとなり、
\(\begin{array}{c|ccccc}
& -2 & 2 & 3 & 6 & 7 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ● & & ● & & \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{A} \cap B & ◎ & & ◎ & &
\end{array}\)
したがって、
\(\overline{A} \cap B=\{\,-2~,~3\,\}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02整数全体を全体集合 \(U\) とする。\(U\) の部分集合 \(A~,~\)\(B\) について、
\(A=\{\,1~,~a~,~a+1\,\}~,~\)\(B=\{\,6~,~8-a~,~a-3\,\}\)
であるとき、\(A \cap B=\{\,1~,~4\,\}\) となるように定数 \(a\) の値を定めよ。また、そのときの集合 \(A \cup B\) を求めよ。
\(A=\{\,1~,~a~,~a+1\,\}~,~\)\(B=\{\,6~,~8-a~,~a-3\,\}\)
であるとき、\(A \cap B=\{\,1~,~4\,\}\) となるように定数 \(a\) の値を定めよ。また、そのときの集合 \(A \cup B\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.71 章末問題B 3
\(2\) つの集合 \(A~,~\)\(B\) と共通部分の条件について、
共通部分の要素が \(1~,~4\) より、集合 \(A\) の \(a\) または \(a+1\) のどちらかが \(4\) となる
\({\small [\,1\,]}\) \(a=4\) のとき
集合 \(A\) は、
\(a+1=4+1=5\) より、
\(A=\{\,1~,~4~,~5\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~8-a&=&8-4=4\\[3pt]~~~a-3&=&4-3=1\end{eqnarray}\)
\(B=\{\,1~,~4~,~6\,\}\)
よって、共通部分は \(A \cap B=\{\,1~,~4\,\}\) となり条件を満たす
\({\small [\,2\,]}\) \(a+1=4\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~a+1&=&4\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)
集合 \(A\) は、
\(A=\{\,1~,~3~,~4\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~8-a&=&8-3=5\\[3pt]~~~a-3&=&3-3=0\end{eqnarray}\)
\(B=\{\,0~,~5~,~6\,\}\)
よって、共通部分は \(A \cap B=\phi\) となり条件を満たさない
したがって、\(a=4\) である
\(a=4\) より、
\(A=\{\,1~,~4~,~5\,\}~,~\)\(B=\{\,1~,~4~,~6\,\}\)
集合 \(A~,~\)\(B\) の要素は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
& 1 & 4 & 5 & 6 \\[3pt]
\hline
A & ○ & ○ & ○ & \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
A \cup B & ● & ● & ● & ●
\end{array}\)
したがって、
\(A \cup B=\{\,1~,~4~,~5~,~6\,\}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03整数を要素とする \(2\) つの集合を
\(A=\{\,3~,~7~,~a^2\,\}\)、\(B=\{\,2~,~4~,~a+1~,~a+b\,\}\)
とするとき、\(A \cap B=\{\,4~,~7\,\}\) となるような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、そのときの \(A \cup B\) を求めよ。
\(A=\{\,3~,~7~,~a^2\,\}\)、\(B=\{\,2~,~4~,~a+1~,~a+b\,\}\)
とするとき、\(A \cap B=\{\,4~,~7\,\}\) となるような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、そのときの \(A \cup B\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.73 練習問題 1
\(2\) つの集合 \(A~,~\)\(B\) と共通部分の条件について、
共通部分の要素が \(4~,~7\) より、集合 \(A\) の \(a^2\) が \(4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&4\\[3pt]~~~a&=&\pm 2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) \(a=2\) のとき
集合 \(A\) は、
\(A=\{\,3~,~4~,~7\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(a+1=2+1=3\) より、
\(B=\{\,2~,~3~,~4~,~2+b\,\}\)
共通部分に \(7\) が含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2+b&=&7\\[3pt]~~~b&=&5\end{eqnarray}\)
\(B=\{\,2~,~3~,~4~,~7\,\}\)
よって、共通部分は \(A \cap B=\{\,3~,~4~,~7\,\}\) となり条件を満たさない
\({\small [\,2\,]}\) \(a=-2\) のとき
集合 \(A\) は、
\(A=\{\,3~,~4~,~7\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(a+1=-2+1=-1\) より、
\(B=\{\,-1~,~2~,~4~,~-2+b\,\}\)
共通部分に \(7\) が含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+b&=&7\\[3pt]~~~b&=&9\end{eqnarray}\)
\(B=\{\,-1~,~2~,~4~,~7\,\}\)
よって、共通部分は \(A \cap B=\{\,4~,~7\,\}\) となり条件を満たす
したがって、\(a=-2~,~b=9\) である
\(a=-2~,~b=9\) より、
\(A=\{\,3~,~4~,~7\,\}~,~\)\(B=\{\,-1~,~2~,~4~,~7\,\}\)
集合 \(A~,~\)\(B\) の要素は、
\(\begin{array}{c|cccccc}
& -1 & 2 & 3 & 4 & 7 \\[3pt]
\hline
A & & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
A \cup B & ● & ● & ● & ● & ●
\end{array}\)
したがって、
\(A \cup B=\{\,-1~,~2~,~3~,~4~,~7\,\}\)
