このページは、「共通部分・和集合の条件と部分集合」の練習問題アーカイブページとなります。
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共通部分・和集合の条件と部分集合 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10\,\}\) を全体集合とする。\(U\) の部分集合 \(A~,~\)\(B\) について、
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,1~,~2~,~5~,~8\,\}~,~\)\(A \cap B=\{\,3\,\}~,~\)\(\overline{A} \cap B=\{\,4~,~7~,~10\,\}\)
であるとき、集合 \(A~,~\)\(B\) を求めよ。
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,1~,~2~,~5~,~8\,\}~,~\)\(A \cap B=\{\,3\,\}~,~\)\(\overline{A} \cap B=\{\,4~,~7~,~10\,\}\)
であるとき、集合 \(A~,~\)\(B\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.71 章末問題A 1
全体集合 \(U\) は、
\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10\,\}\)
また、\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,1~,~2~,~5~,~8\,\}\) より、
\(\overline{A \cup B}=\{\,1~,~2~,~5~,~8\,\}\)
これより、
集合 \(A\) と \(B\) の和集合の外に \(1~,~2~,~5~,~8\) がある
また、\(A \cap B=\{\,3\,\}\) より、
集合 \(A\) と \(B\) の共通部分に \(3\) がある
さらに、\(\overline{A} \cap B=\{\,4~,~7~,~10\,\}\) より、
集合 \(A\) の外かつ集合 \(B\) の範囲内に \(4~,~7~,~10\) がある
ベン図で表すと、
残りの要素 \(6~,~9\) は、集合 \(A\) かつ集合 \(B\) に属さない範囲内にある
よって、
\(A=\{\,3~,~6~,~9\,\}\)
\(B=\{\,3~,~4~,~7~,~10\,\}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(1\) 桁の自然数全体からなる集合を全体集合 \(U\) とする。\(U\) の部分集合 \(A~,~\)\(B\) が \(A \cap B=\{\,1~,~9\,\}~,~\)\(\overline{A} \cap B=\{\,6~,~8\,\}~,~\)\(\overline{A \cup B}=\{\,2~,~4~,~7\,\}\) を満たすとき、\(A~,~\)\(B\) を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.74 章末問題A 2
全体集合 \(U\) は、
\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\,\}\)
また、\(\overline{A \cup B}=\{\,2~,~4~,~7\,\}\) より、
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,2~,~4~,~7\,\}\)
これより、
集合 \(A\) と \(B\) の和集合の外に \(2~,~4~,~7\) がある
また、\(A \cap B=\{\,1~,~9\,\}\) より、
集合 \(A\) と \(B\) の共通部分に \(1~,~9\) がある
さらに、\(\overline{A} \cap B=\{\,6~,~8\,\}\) より、
集合 \(A\) の外かつ集合 \(B\) の範囲内に \(6~,~8\) がある
ベン図で表すと、
残りの要素 \(3~,~5\) は、集合 \(A\) かつ集合 \(B\) に属さない範囲内にある
よって、
\(A=\{\,1~,~3~,~5~,~9\,\}\)
\(B=\{\,1~,~6~,~8~,~9\,\}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(U=\{\,x\,|\,x\) は \(15\) 以下の自然数\(\,\}\) を全体集合とする。集合 \(A~,~\)\(B\) は \(U\) の部分集合で
\(A=\{\,x\,|\,x\) は \(15\) 以下の素数\(\,\}\)
\((\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (A \cup B)=\{\,1~,~2~,~7~,~11~,~13~,~15\,\}\)
\((\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (A \cup B)=\{\,1~,~2~,~7~,~11~,~13~,~15\,\}\)
であるとする。このとき、集合 \(B\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.71 Level Up 2
全体集合 \(U\) は、
\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~,~11~,~12~,~13~,~14~,~15\,\}\)
集合 \(A\) は \(15\) 以下の素数なので、
\(A=\{\,2~,~3~,~5~,~7~,~11~,~13\,\}\)
ここで、\((\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (A \cup B)\) はド・モルガンの法則より、
\(\overline{A} \cup \overline{B}=\overline{A \cap B}\)
よって、
\((\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (A \cup B)=\overline{A \cap B} \cap (A \cup B)\)
ベン図の領域を①〜④とすると、
\(A \cup B\) は ①＋②＋③ の領域で、\(\overline{A \cap B}\) は ②以外の領域なので、
\(\overline{A \cap B} \cap (A \cup B)\) は ①＋③ の領域となる
条件を表に整理すると、
\(\begin{array}{c|ccccccccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & ○ & & ○ & & ○ & & & & ○ & & ○ & & \\[3pt]
\hline
①+③ & ○ & ○ & & & & & ○ & & & & ○ & & ○ & & ○
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & ○ & & ○ & & ○ & & & & ○ & & ○ & & \\[3pt]
\hline
①+③ & ○ & ○ & & & & & ○ & & & & ○ & & ○ & & ○
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(A\) かつ ①＋③ に含まれる要素が ① の領域（\(A\) だけ）なので、
\(\begin{array}{c|ccccccccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & ○ & & ○ & & ○ & & & & ○ & & ○ & & \\[3pt]
\hline
①+③ & ○ & ○ & & & & & ○ & & & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
① & & ◎ & & & & & ◎ & & & & ◎ & & ◎ & &
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & ○ & & ○ & & ○ & & & & ○ & & ○ & & \\[3pt]
\hline
①+③ & ○ & ○ & & & & & ○ & & & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
① & & ◎ & & & & & ◎ & & & & ◎ & & ◎ & &
\end{array}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
① \(=\{\,2~,~7~,~11~,~13\,\}\)
①＋③ から ① を除いた要素が ③ の領域（\(B\) だけ）なので、
③ \(=\{\,1~,~15\,\}\)
\(A\) から ① を除いた要素が ② の領域（\(A \cap B\)）なので、
② \(=\{\,3~,~5\,\}\)
したがって、集合 \(B\) は ②＋③ より、
\(B=\{\,1~,~3~,~5~,~15\,\}\)
