必要条件と十分条件

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.62 練習13

\({\small (1)}~\)「\(x=2\) は \(x^2=2x\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x=2\) 、\(q\)：\(x^2=2x\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=2\) のとき \(x^2=4~,~2x=4\) より \(x^2=2x\) が常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(x^2=2x\) より \(x^2-2x=0\) となり、

---

\(x(x-2)=0\) より \(x=0~,~2\) となるので、

---

\(x=0\) のとき \(x=2\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(x=2\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x^2=2x\)

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(x \gt 0\) は \(x \neq 1\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x \gt 0\) 、\(q\)：\(x \neq 1\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=1\) のとき \(x \gt 0\) だが \(x \neq 1\) とならないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(x=-1\) のとき \(x \neq 1\) だが \(x \gt 0\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(x \gt 0\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x \neq 1\)

---

したがって、必要条件でも十分条件でもない

 
 

\({\small (3)}~\)「\(2\) つの三角形の面積が等しいことは、\(2\) つの三角形が合同であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(2\) つの三角形の面積が等しい

---

　\(q\)：\(2\) つの三角形が合同であるとする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

面積が等しくても合同でない三角形は存在するので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

合同であれば面積は常に等しくなるので真

---

これより、

---

　\(p\)：面積が等しい \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：合同である

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

 
 

\({\small (4)}~\)「\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AB}^2+{\rm BC}^2={\rm CA}^2\) であることは、\(\triangle {\rm ABC}\) が \(\angle {\rm B}=90°\) の直角三角形であるための○○条件」

---

　\(p\)：\({\rm AB}^2+{\rm BC}^2={\rm CA}^2\)

---

　\(q\)：\(\triangle {\rm ABC}\) が \(\angle {\rm B}=90°\) の直角三角形とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

三平方の定理の逆より、\({\rm AB}^2+{\rm BC}^2={\rm CA}^2\) ならば \(\angle {\rm B}=90°\) となるので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

三平方の定理より、\(\angle {\rm B}=90°\) ならば \({\rm AB}^2+{\rm BC}^2={\rm CA}^2\) となるので真

---

これより、

---

　\(p\)：\({\rm AB}^2+{\rm BC}^2={\rm CA}^2\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(\angle {\rm B}=90°\)

---

したがって、必要十分条件である

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.69 問題 2

\({\small (1)}~\)「\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形であることは、\(\triangle {\rm ABC}\) が正三角形であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形

---

　\(q\)：\(\triangle {\rm ABC}\) が正三角形とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

二等辺三角形でも正三角形でないものは存在するので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

正三角形は \(3\) 辺が等しいので、二等辺三角形でもあるため常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：二等辺三角形 \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：正三角形

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(x=y\) は、\(x^2+y^2=2xy\) であるための○○条件」

---

\(x~,~y\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x=y\) 、\(q\)：\(x^2+y^2=2xy\)とする

---

ここで、\(x^2+y^2=2xy\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&2xy\\[3pt]~~~x^2-2xy+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-y)^2&=&0\\[3pt]~~~x&=&y\end{eqnarray}\)

---

\(p\) と \(q\) は同じ条件となる

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(x=y\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x^2+y^2=2xy\)

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (3)}~\)「\(x+y \gt 2\) は、「\(x \gt 1\) または \(y \gt 1\)」であるための○○条件」

---

\(x~,~y\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x+y \gt 2\) 、\(q\)：\(x \gt 1\) または \(y \gt 1\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x+y \gt 2\) のとき、仮に \(x{\small ~≦~}1\) かつ \(y{\small ~≦~}1\) とすると \(x+y{\small ~≦~}2\) となり矛盾するので、

---

\(x \gt 1\) または \(y \gt 1\) が常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(x=3~,~y=-2\) のとき \(x \gt 1\) だが \(x+y=1 \lt 2\) となるので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(x+y \gt 2\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x \gt 1\) または \(y \gt 1\)

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.70 演習問題A 3

\({\small (1)}~\)「\(p\) は \(r\) であるための○○条件」

---

\(p \rightarrow r\) の真偽は、

---

\(m=1~,~n=1\) のとき \(m+n=2\) で偶数だが \(m~,~n\) はともに奇数となるので偽

---

\(r \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(m~,~n\) がともに偶数ならば \(m+n\) は常に偶数となるので真

---

これより、

---

　\(p\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(r\)

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(\overline{p}\) は \(\overline{r}\) であるための○○条件」

---

\(\overline{p}\)：\(m+n\) は偶数でない（奇数）

---

\(\overline{r}\)：\(m~,~n\) がともに偶数でない（少なくとも一方が奇数）

---

\(\overline{p} \rightarrow \overline{r}\) の真偽は、

---

\(m+n\) が奇数ならば \(m~,~n\) は一方が偶数で他方が奇数となり、ともに偶数ではないので常に成立するので真

---

\(\overline{r} \rightarrow \overline{p}\) の真偽は、

---

\(m=1~,~n=3\) のとき少なくとも一方が奇数だが \(m+n=4\) で偶数となるので偽

---

これより、

---

　\(\overline{p}\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(\overline{r}\)

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (3)}~\)「\(p\) かつ \(q\)」は \(r\) であるための○○条件」

---

「\(p\) かつ \(q\)」は、\(m+n\) が偶数かつ \(mn\) が偶数

---

「\(p\) かつ \(q\)」\(\rightarrow\) \(r\) の真偽は、

---

\(m+n\) が偶数より \(m~,~n\) はともに偶数またはともに奇数となるが、

---

\(mn\) が偶数より少なくとも一方は偶数となるので、

---

\(m~,~n\) はともに偶数となり常に成立するので真

---

\(r\) \(\rightarrow\) 「\(p\) かつ \(q\)」の真偽は、

---

\(m~,~n\) がともに偶数ならば \(m+n\) は偶数かつ \(mn\) は偶数で常に成立するので真

---

これより、

---

　「\(p\) かつ \(q\)」\(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(r\)

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (4)}~\)「\(p\) または \(\overline{q}\)」は \(r\) であるための○○条件」

---

「\(p\) または \(\overline{q}\)」は、\(m+n\) が偶数、または \(mn\) が奇数

---

「\(p\) または \(\overline{q}\)」\(\rightarrow\) \(r\) の真偽は、

---

\(m=1~,~n=1\) のとき \(m+n=2\) で偶数なので「\(p\) または \(\overline{q}\)」を満たすが、\(m~,~n\) はともに奇数となるので偽

---

\(r\) \(\rightarrow\) 「\(p\) または \(\overline{q}\)」の真偽は、

---

\(m~,~n\) がともに偶数ならば \(m+n\) は偶数で \(p\) を満たし、常に成立するので真

---

これより、

---

　「\(p\) または \(\overline{q}\)」\(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(r\)

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.61 練習12

\({\small (1)}~\)「\(x=-2\) は \(x^2=4\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x=-2\) 、\(q\)：\(x^2=4\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=-2\) のとき \(x^2=(-2)^2=4\) より、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(x^2=4\) より \(x=\pm 2\) となり、

---

\(x=2\) のとき \(x=-2\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(x=-2\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x^2=4\)

---

したがって、十分条件である

 
 

\({\small (2)}~\)「\(x \gt 0\) は \(x \gt 1\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x \gt 0\) 、\(q\)：\(x \gt 1\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=0.5\) のとき \(x \gt 0\) だが \(x \gt 1\) とならないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(x \gt 1\) ならば \(x \gt 0\) は常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(x \gt 0\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x \gt 1\)

---

したがって、必要条件である

 
 

\({\small (3)}~\)「\(x=y\) は \((x-y)x=0\) であるための○○条件」

---

\(x~,~y\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x=y\) 、\(q\)：\((x-y)x=0\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=y\) のとき \((x-y)x=0 \cdot x=0\) より、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\((x-y)x=0\) より \(x=y\) または \(x=0\) となり、

---

\(x=0~,~y=1\) のとき \(x=y\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(x=y\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\((x-y)x=0\)

---

したがって、十分条件である

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.62 練習14

\({\small (1)}~\)「\(\triangle {\rm ABC}\) が正三角形であることは、\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(\triangle {\rm ABC}\) が正三角形

---

　\(q\)：\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

正三角形は \(3\) 辺が等しいので二等辺三角形でもあり、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

二等辺三角形でも正三角形でないものは存在するので偽

---

これより、

---

　\(p\)：正三角形 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：二等辺三角形

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(x \lt 3\) は \(-1 \lt x \lt 1\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x \lt 3\) 、\(q\)：\(-1 \lt x \lt 1\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=2\) のとき \(x \lt 3\) だが \(-1 \lt x \lt 1\) とならないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(-1 \lt x \lt 1\) ならば \(x \lt 1 \lt 3\) より \(x \lt 3\) は常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(x \lt 3\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(-1 \lt x \lt 1\)

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

 
 

\({\small (3)}~\)「\(|\,x\,|=|\,y\,|\) は \(x^2=y^2\) であるための○○条件」

---

\(x~,~y\) を実数として、

---

　\(p\)：\(|\,x\,|=|\,y\,|\) 、\(q\)：\(x^2=y^2\)とする

---

ここで、\(|\,x\,|=|\,y\,|\) の両辺を \(2\) 乗すると \(x^2=y^2\) となり、

---

また、\(x^2=y^2\) の両辺の正の平方根をとると \(|\,x\,|=|\,y\,|\) となるので、

---

\(p\) と \(q\) は同じ条件となる

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(|\,x\,|=|\,y\,|\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x^2=y^2\)

---

したがって、必要十分条件である

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.70 問題 3

集合 \(A~,~B\) は次の通り

---

　\(A=\{\,5~,~10~,~15~,~20~,~25~,~30~,~\cdots\,\}\)（\(5\) の倍数）

---

　\(B=\{\,6~,~12~,~18~,~24~,~30~,~\cdots\,\}\)（\(6\) の倍数）
 
 
\({\small (1)}~\)「\(n\) が \(A\) に属することは、\(n\) が \(10\) で割り切れるための○○条件」

---

　\(p\)：\(n\) は \(5\) の倍数、\(q\)：\(n\) は \(10\) の倍数とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(n=5\) のとき \(5\) の倍数だが \(10\) の倍数ではないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(10\) の倍数は \(10=5{\,\small \times \,}2\) より常に \(5\) の倍数でもあるので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(5\) の倍数 \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(10\) の倍数

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(n\) が \(B\) に属することは、\(n\) が \(2\) で割り切れるための○○条件」

---

　\(p\)：\(n\) は \(6\) の倍数、\(q\)：\(n\) は \(2\) の倍数とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(6\) の倍数は \(6=2{\,\small \times \,}3\) より常に \(2\) の倍数でもあるので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(n=2\) のとき \(2\) の倍数だが \(6\) の倍数ではないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(6\) の倍数 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(2\) の倍数

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (3)}~\)「\(n\) が \(A \cap B\) に属することは、\(n\) が \(30\) で割り切れるための○○条件」

---

\(A \cap B\) は \(5\) の倍数かつ \(6\) の倍数であり、

---

\(5\) と \(6\) の最小公倍数は \(30\) なので、\(A \cap B\) は \(30\) の倍数の集合となる

---

　\(p\)：\(n\) は \(30\) の倍数（\(A \cap B\)）、\(q\)：\(n\) は \(30\) の倍数とする

---

\(p\) と \(q\) は同じ条件となる

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(A \cap B\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(30\) の倍数

---

したがって、必要十分条件である

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.65 練習14

\({\small (1)}~\)「\(a \gt 1\) は \(a \gt 0\) であるための○○条件」

---

\(a\) を実数として、

---

　\(p\)：\(a \gt 1\) 、\(q\)：\(a \gt 0\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a \gt 1\) ならば \(a \gt 1 \gt 0\) より \(a \gt 0\) は常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a=0.5\) のとき \(a \gt 0\) だが \(a \gt 1\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(a \gt 1\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a \gt 0\)

---

したがって、十分条件である

 
 

\({\small (2)}~\)「\(n\) が \(3\) の倍数であることは \(n=9\) であるための○○条件」

---

\(n\) を自然数として、

---

　\(p\)：\(n\) は \(3\) の倍数、\(q\)：\(n=9\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(n=3\) のとき \(3\) の倍数だが \(n=9\) とならないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(n=9\) のとき \(9=3{\,\small \times \,}3\) より \(3\) の倍数となり、常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(3\) の倍数 \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(n=9\)

---

したがって、必要条件である

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.65 練習16

\({\small (1)}~\)「四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形であることは、四角形 \({\rm ABCD}\) が平行四辺形であるための○○条件」

---

　\(p\)：四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形

---

　\(q\)：四角形 \({\rm ABCD}\) が平行四辺形とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

長方形は \(2\) 組の対辺がそれぞれ等しいので、平行四辺形でもあり常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

平行四辺形でも長方形でないものは存在するので偽

---

これより、

---

　\(p\)：長方形 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：平行四辺形

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(a \gt b\) は、\(2a+1 \gt 2b+1\) であるための○○条件」

---

\(a~,~b\) を実数として、

---

　\(p\)：\(a \gt b\) 、\(q\)：\(2a+1 \gt 2b+1\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a \gt b\) の両辺を \(2\) 倍すると \(2a \gt 2b\) となり、両辺に \(1\) を加えると \(2a+1 \gt 2b+1\) で常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(2a+1 \gt 2b+1\) の両辺から \(1\) を引くと \(2a \gt 2b\) となり、両辺を \(2\) で割ると \(a \gt b\) で常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(a \gt b\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(2a+1 \gt 2b+1\)

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (3)}~\)「積 \(mn\) が偶数であることは、\(m\) が偶数であるための○○条件」

---

\(m~,~n\) を自然数として、

---

　\(p\)：\(mn\) が偶数、\(q\)：\(m\) が偶数とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(m=1~,~n=2\) のとき \(mn=2\) で偶数だが \(m=1\) は奇数となるので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(m\) が偶数ならば \(mn\) は常に偶数となるので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(mn\) が偶数 \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(m\) が偶数

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.73 補充問題 1

\({\small (1)}~\)「\(m\) が \(6\) で割り切れることは、\(m\) が \(2\) で割り切れるための○○条件」

---

\(m\) を自然数として、

---

　\(p\)：\(m\) は \(6\) の倍数、\(q\)：\(m\) は \(2\) の倍数とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(6\) の倍数は \(6=2{\,\small \times \,}3\) より常に \(2\) の倍数でもあるので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(m=2\) のとき \(2\) の倍数だが \(6\) の倍数ではないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(6\) の倍数 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(2\) の倍数

---

したがって、(c) 十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(m\) が \(2\) で割り切れることは、\(m\) が素数であるための○○条件」

---

\(m\) を自然数として、

---

　\(p\)：\(m\) は \(2\) の倍数、\(q\)：\(m\) は素数とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(m=4\) のとき \(2\) の倍数だが素数ではないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(m=3\) のとき素数だが \(2\) の倍数ではないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(2\) の倍数 \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：素数

---

したがって、(d) 必要条件でも十分条件でもない

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.74 章末問題A 4

\({\small (1)}~\)「四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形であることは、四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線の長さが等しいための○○条件」

---

　\(p\)：四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形

---

　\(q\)：四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線の長さが等しいとする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

長方形の対角線の長さは常に等しいので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

等脚台形は対角線の長さが等しいが長方形ではないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：長方形 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：対角線が等しい

---

したがって、(c) 十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(a{\small ~≧~}b\) は、\(|\,a-b\,|=a-b\) であるための○○条件」

---

\(a~,~b\) を実数として、

---

　\(p\)：\(a{\small ~≧~}b\) 、\(q\)：\(|\,a-b\,|=a-b\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a{\small ~≧~}b\) のとき \(a-b{\small ~≧~}0\) より \(|\,a-b\,|=a-b\) が常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(|\,a-b\,|=a-b\) が成り立つのは \(a-b{\small ~≧~}0\) すなわち \(a{\small ~≧~}b\) のときであり、常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(a{\small ~≧~}b\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(|\,a-b\,|=a-b\)

---

したがって、(a) 必要十分条件である

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.64 問5

\({\small (1)}~\)「\(x \lt 3\) は \(-1 \lt x \lt 2\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x \lt 3\) 、\(q\)：\(-1 \lt x \lt 2\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=-2\) のとき \(x \lt 3\) だが \(-1 \lt x \lt 2\) とならないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(-1 \lt x \lt 2\) ならば \(x \lt 2 \lt 3\) より \(x \lt 3\) は常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(x \lt 3\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(-1 \lt x \lt 2\)

---

したがって、必要条件であるが、十分条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(x=6\) は \(x^2=36\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x=6\) 、\(q\)：\(x^2=36\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x=6\) のとき \(x^2=6^2=36\) より、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(x^2=36\) より \(x=\pm 6\) となり、

---

\(x=-6\) のとき \(x=6\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(x=6\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x^2=36\)

---

したがって、十分条件であるが、必要条件ではない

 
 

\({\small (3)}~\)「\(m~,~n\) が同符号であることは \(mn\) が正であるための○○条件」

---

\(m~,~n\) を整数として、

---

　\(p\)：\(m~,~n\) が同符号、\(q\)：\(mn\) が正とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(m~,~n\) がともに正ならば \(mn \gt 0\) 、ともに負ならば \(mn \gt 0\) で常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(mn \gt 0\) ならば \(m~,~n\) はともに正またはともに負であり、同符号で常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：同符号 \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(mn\) が正

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (4)}~\)「四角形 \(F\) の内角の大きさがすべて等しいことは辺の長さがすべて等しいための○○条件」

---

　\(p\)：四角形 \(F\) の内角がすべて等しい

---

　\(q\)：四角形 \(F\) の辺の長さがすべて等しいとする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

内角がすべて等しい四角形は長方形であるが、長方形でも正方形でないものは辺の長さが等しくないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

辺の長さがすべて等しい四角形はひし形であるが、ひし形でも正方形でないものは内角がすべて等しくないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：内角がすべて等しい \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：辺がすべて等しい

---

したがって、必要条件でも十分条件でもない

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.72 問題 3

\({\small (1)}~\)\(p\)：\(a+c=b+c\) 、\(q\)：\(a=b\)

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a+c=b+c\) の両辺から \(c\) を引くと \(a=b\) で常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a=b\) の両辺に \(c\) を加えると \(a+c=b+c\) で常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(a+c=b+c\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a=b\)

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (2)}~\)\(p\)：\(ac=bc\) 、\(q\)：\(a=b\)

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a=1~,~b=2~,~c=0\) のとき \(ac=0=bc\) だが \(a \neq b\) となるので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a=b\) の両辺に \(c\) をかけると \(ac=bc\) で常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(ac=bc\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a=b\)

---

したがって、必要条件であるが、十分条件ではない

 
 

\({\small (3)}~\)\(p\)：\(a+b \gt 0\) 、\(q\)：\(ab \gt 0\)

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a=2~,~b=-1\) のとき \(a+b=1 \gt 0\) だが \(ab=-2 \lt 0\) となるので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a=-1~,~b=-2\) のとき \(ab=2 \gt 0\) だが \(a+b=-3 \lt 0\) となるので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(a+b \gt 0\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(ab \gt 0\)

---

したがって、必要条件でも十分条件でもない

 
 

\({\small (4)}~\)\(p\)：\(a \gt 1\) かつ \(b \gt 1\) 、\(q\)：\(a+b \gt 2\)

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a \gt 1\) かつ \(b \gt 1\) ならば \(a+b \gt 1+1=2\) で常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a=3~,~b=0\) のとき \(a+b=3 \gt 2\) だが \(b \gt 1\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(a \gt 1\) かつ \(b \gt 1\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a+b \gt 2\)

---

したがって、十分条件であるが、必要条件ではない

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.73 練習問題 3
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.71 Level Up 3

\({\small (1)}~\)\(p\)：\(a^2=b^2\) 、\(q\)：\(|\,a\,|=|\,b\,|\)

---

\(a^2=b^2\) の両辺の正の平方根をとると \(|\,a\,|=|\,b\,|\) となり、

---

\(|\,a\,|=|\,b\,|\) の両辺を \(2\) 乗すると \(a^2=b^2\) となるので、

---

\(p\) と \(q\) は同じ条件となる

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(a^2=b^2\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(|\,a\,|=|\,b\,|\)

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (2)}~\)\(p\)：\(a^2 \lt b^2\) 、\(q\)：\(a \lt b\)

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a=-3~,~b=1\) のとき \(a^2=9 \gt 1=b^2\) → これは \(p\) を満たさない

---

\(a=1~,~b=-3\) のとき \(a^2=1 \lt 9=b^2\) だが \(a \gt b\) となるので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a=-3~,~b=1\) のとき \(a \lt b\) だが \(a^2=9 \gt 1=b^2\) となるので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(a^2 \lt b^2\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a \lt b\)

---

したがって、必要条件でも十分条件でもない

 
 

\({\small (3)}~\)\(p\)：\(a^2+b^2=0\) 、\(q\)：\(a=0\)

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a^2+b^2=0\) より \(a=0\) かつ \(b=0\) となるので、常に \(a=0\) が成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a=0~,~b=1\) のとき \(a=0\) だが \(a^2+b^2=0+1=1 \neq 0\) となるので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(a^2+b^2=0\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a=0\)

---

したがって、十分条件であるが、必要条件ではない

 
 

\({\small (4)}~\)\(p\)：\(a^2+b^2 \gt 0\) 、\(q\)：\(a \gt 0\)

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a=-1~,~b=0\) のとき \(a^2+b^2=1 \gt 0\) だが \(a \lt 0\) となるので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a \gt 0\) ならば \(a^2 \gt 0\) より \(a^2+b^2 \gt 0\) は常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(a^2+b^2 \gt 0\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a \gt 0\)

---

したがって、必要条件であるが、十分条件ではない

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.63 問7

\({\small (1)}~\)「\(x \gt 1\) は \(x \gt 0\) であるための○○条件」

---

\(x\) を実数として、

---

　\(p\)：\(x \gt 1\) 、\(q\)：\(x \gt 0\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(x \gt 1\) ならば \(x \gt 1 \gt 0\) より \(x \gt 0\) は常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(x=0.5\) のとき \(x \gt 0\) だが \(x \gt 1\) とならないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(x \gt 1\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x \gt 0\)

---

したがって、十分条件である

 
 

\({\small (2)}~\)「\(n\) が偶数であることは、\(n=4\) であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(n\) は偶数、\(q\)：\(n=4\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(n=2\) のとき偶数だが \(n=4\) とならないので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(n=4\) は偶数であり、常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：偶数 \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(n=4\)

---

したがって、必要条件である

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.63 問8

\({\small (1)}~\)「四角形 \({\rm ABCD}\) が正方形であることは、四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形であるための○○条件」

---

　\(p\)：四角形 \({\rm ABCD}\) が正方形

---

　\(q\)：四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

正方形はすべての角が \(90°\) かつすべての辺が等しいので、長方形でもあり常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

長方形でも正方形でないものは存在するので偽

---

これより、

---

　\(p\)：正方形 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：長方形

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (2)}~\)「\(a~,~b\) の積が正であることは、\(a~,~b\) が同符号であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(ab \gt 0\) 、\(q\)：\(a~,~b\) が同符号とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(ab \gt 0\) ならば \(a~,~b\) はともに正またはともに負であり、同符号で常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a~,~b\) が同符号ならば、ともに正のとき \(ab \gt 0\) 、ともに負のとき \(ab \gt 0\) で常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(ab \gt 0\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：同符号

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (3)}~\)「\(a~,~b\) の和が正であることは、\(a~,~b\) がともに正であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(a+b \gt 0\) 、\(q\)：\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a=3~,~b=-1\) のとき \(a+b=2 \gt 0\) だが \(b \lt 0\) となるので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) ならば \(a+b \gt 0\) は常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(a+b \gt 0\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：ともに正

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.70 Training 3

\({\small (1)}~\)「実数 \(a~,~b~,~c\) について、\(a \lt b\) であることは、\(a+c \lt b+c\) であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(a \lt b\) 、\(q\)：\(a+c \lt b+c\)とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(a \lt b\) の両辺に \(c\) を加えると \(a+c \lt b+c\) で常に成立するので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(a+c \lt b+c\) の両辺から \(c\) を引くと \(a \lt b\) で常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：\(a \lt b\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(a+c \lt b+c\)

---

したがって、必要十分条件である

 
 

\({\small (2)}~\)「自然数 \(m~,~n\) について、\(m\) または \(n\) が \(4\) の倍数であることは、\(mn\) が \(4\) の倍数であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(m\) または \(n\) が \(4\) の倍数、\(q\)：\(mn\) が \(4\) の倍数とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(m\) または \(n\) が \(4\) の倍数ならば \(mn\) は常に \(4\) の倍数となるので真

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

\(m=2~,~n=6\) のとき \(mn=12\) で \(4\) の倍数だが \(m\) も \(n\) も \(4\) の倍数ではないので偽

---

これより、

---

　\(p\)：\(m\) または \(n\) が \(4\) の倍数 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(mn\) が \(4\) の倍数

---

したがって、十分条件であるが必要条件ではない

 
 

\({\small (3)}~\)「四角形について、\(4\) つの内角の大きさが等しいことは、正方形であるための○○条件」

---

　\(p\)：\(4\) つの内角が等しい、\(q\)：正方形とする

---

\(p \rightarrow q\) の真偽は、

---

\(4\) つの内角が等しい四角形は長方形であるが、長方形でも正方形でないものは存在するので偽

---

\(q \rightarrow p\) の真偽は、

---

正方形はすべての角が \(90°\) で等しいので常に成立するので真

---

これより、

---

　\(p\)：内角が等しい \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：正方形

---

したがって、必要条件であるが十分条件ではない