- 数学Ⅰ｜集合と論理「条件の否定とかつ・またはの否定」の基本例題解説ページです。
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問題｜条件の否定とかつ・またはの否定
集合と論理 13\(x~,~y\) を実数として、「\(x=3\)」、「\(x \gt 3\)」、「\(x\) は無理数である」、「\(x=1\) かつ \(y=2\)」、「\(x{\small ~≧~}0\) または \(y \lt 0\)」、「\(x~,~y\) の少なくとも一方は無理数である」の否定の答え方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
条件の否定とかつ・またはの否定
Point：条件の否定とかつ・またはの否定
かつ \(~\leftrightarrow~\) または
ともに \(~\leftrightarrow~\) 少なくとも一方
これより、
\(\overline{p~かつ~q}~\leftrightarrow~\overline{p}~または~\overline{q}\)
\(\overline{p~または~q}~\leftrightarrow~\overline{p}~かつ~\overline{q}\)
条件 \(p\) の否定は「\(p\) でない\(\overline{p}\) 」である。
■ かつ・または の否定
かつ \(~\leftrightarrow~\) または
ともに \(~\leftrightarrow~\) 少なくとも一方
これより、
\(\overline{p~かつ~q}~\leftrightarrow~\overline{p}~または~\overline{q}\)
\(\overline{p~または~q}~\leftrightarrow~\overline{p}~かつ~\overline{q}\)
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詳しい解説｜条件の否定とかつ・またはの否定
集合と論理 13
\(x~,~y\) を実数として、「\(x=3\)」、「\(x \gt 3\)」、「\(x\) は無理数である」、「\(x=1\) かつ \(y=2\)」、「\(x{\small ~≧~}0\) または \(y \lt 0\)」、「\(x~,~y\) の少なくとも一方は無理数である」の否定の答え方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
「\(x=3\)」の否定は、
したがって、「\(x \neq 3\)」となる
「\(x \gt 3\)」の否定は、\(x \gt 3\) でないとなるので、
したがって、「\(x{\small ~≦~}3\)」となる
「\(x\) は無理数である」の否定は、無理数でない＝有理数より、
したがって、「\(x\) は有理数である」となる
「\(x=1\) かつ \(y=2\)」の否定は、
\(x=1\) → \(x \neq 1\)
かつ → または
\(y=2\) → \(y \neq 2\)
したがって、「\(x \neq 1\) または \(y \neq 2\)」となる
「\(x{\small ~≧~}0\) または \(y \lt 0\)」の否定は、
\(x{\small ~≧~}0\) → \(x \lt 0\)
または → かつ
\(y \lt 0\) → \(y{\small ~≧~}0\)
したがって、「\(x \lt 0\) かつ \(y{\small ~≧~}0\)」となる
「\(x~,~y\) の少なくとも一方は無理数である」の否定は、
少なくとも一方 → ともに
無理数 → 有理数
したがって、「\(x~,~y\) がともに有理数である」となる
