このページは、「対偶法を用いた証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
対偶法を用いた証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.65 練習17
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.66 練習18
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.70 練習22
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.67 問13
命題「\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、
「\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2\) は偶数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数である [終]
問題アーカイブ02
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.66 練習18
命題「\(x+y \gt 0 \Rightarrow\) \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\)」の対偶は、
「\(x{\small ~≦~}0\) かつ \(y{\small ~≦~}0\) \(\Rightarrow\) \(x+y{\small ~≦~}0\)」
[証明] \(x{\small ~≦~}0\) かつ \(y{\small ~≦~}0\) のとき、
\(x{\small ~≦~}0\) の両辺に \(y\) を加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&0+y
\\[3pt]~~~x+y&{\small ~≦~}&y\end{eqnarray}\)
ここで、\(y{\small ~≦~}0\) より、\(x+y{\small ~≦~}0\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(x+y \gt 0 \Rightarrow\) \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\) である [終]
問題アーカイブ03
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.69 問題 3
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.67 問9
命題「\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数」の対偶は、
「\(n\) が \(3\) の倍数でないならば \(n^2\) は \(3\) の倍数でない」
[証明] \(n\) が \(3\) の倍数でないとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=3k+1\) または \(n=3k+2\) と表せる
\(\small [\,1\,]\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+6k+1\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+2k\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\small [\,2\,]\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+12k+4\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+4k+1\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\)より、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である [終]
問題アーカイブ04
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b\) は無理数である。
\({\small (2)}~\)\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~a-b\) の少なくとも一方は無理数である。
\({\small (3)}~\)\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~ab\) の少なくとも一方は無理数である。
\({\small (4)}~\)\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数ならば、\(ab\) は無理数である。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.71 演習問題B 5
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.71 章末問題B 4
\({\small (1)}~\)「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b\) は無理数」
\(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\end{eqnarray}\)
これより、\(a+b\) が有理数となるので偽
反例は、\(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) など
\({\small (2)}~\)「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~a-b\) の少なくとも一方は無理数」の対偶は、
「\(a+b~,~a-b\) がともに有理数ならば、\(a~,~b\) の少なくとも一方は有理数」
[証明] \(a+b~,~a-b\) がともに有理数のとき、
有理数 \(p~,~q\) を用いて、\(a+b=p~,~a-b=q\) とおくと、
この \(2\) 式の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2a&=&p+q
\\[5pt] a&=&\displaystyle \frac{\,p+q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
この \(2\) 式の差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2b&=&p-q
\\[5pt] b&=&\displaystyle \frac{\,p-q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(p~,~q\) は有理数であるので、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は有理数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~a-b\) の少なくとも一方は無理数である」は真となる [終]
\({\small (3)}~\)「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~ab\) の少なくとも一方は無理数」
\(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~ab&=&\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})=-2\end{eqnarray}\)
これより、\(a+b~,~ab\) がともに有理数となるので偽
反例は、\(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) など
\({\small (4)}~\)「\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数ならば、\(ab\) は無理数」
\(a=0~,~b=\sqrt{2}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~ab&=&0 \cdot \sqrt{2}=0\end{eqnarray}\)
これより、\(ab\) が有理数となるので偽
反例は、\(a=0~,~b=\sqrt{2}\) など
問題アーカイブ05
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.75 章末問題B 8
命題「\(m^2+n^2\) が偶数ならば、\(m+n\) は偶数」の対偶は、
「\(m+n\) が奇数ならば \(m^2+n^2\) は奇数である」
[証明] \(m+n\) が奇数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(m+n=2k+1\) と表せる
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(m+n)^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~m^2+2mn+n^2&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~m^2+n^2&=&4k^2+4k+1-2mn\\[3pt]~~~m^2+n^2&=&2(2k^2+2k-mn)+1\end{eqnarray}\)
\(2k^2+2k-mn\) は整数であり、\(m^2+n^2\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(m^2+n^2\) が偶数ならば、\(m+n\) は偶数である [終]
問題アーカイブ06
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.72 問題 6
命題「\(x^2+y^2 \neq 0 \Rightarrow\) \(x \neq 0\) または \(y \neq 0\)」の対偶は、
「\(x=0\) かつ \(y=0\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2=0\)」
[証明] \(x=0\) かつ \(y=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&0^2+0^2=0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2+y^2=0\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(x^2+y^2 \neq 0 \Rightarrow\) \(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) である [終]
問題アーカイブ07
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.73 練習問題 4
命題「\(a^2+b^2 \gt 50 \Rightarrow\) \(a \gt 5\) または \(b \gt 5\)」の対偶は、
「\(a{\small ~≦~}5\) かつ \(b{\small ~≦~}5\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2{\small ~≦~}50\)」
[証明] \(a{\small ~≦~}5\) かつ \(b{\small ~≦~}5\) のとき、
\(a~,~b\) は正の数であるので、両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2{\small ~≦~}25~,~b^2{\small ~≦~}25\end{eqnarray}\)
辺々を加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2{\small ~≦~}25+25{\small ~≦~}50\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2+b^2{\small ~≦~}50\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(a^2+b^2 \gt 50 \Rightarrow\) \(a \gt 5\) または \(b \gt 5\) である [終]
問題アーカイブ08
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.70 Training 5
命題「\(n^2+1\) が偶数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、
「\(n\) が偶数ならば \(n^2+1\) は奇数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2+1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+1&=&(2k)^2+1\\[3pt]~~~&=&4k^2+1\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)+1\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2+1\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2+1\) が偶数ならば、\(n\) は奇数である [終]
問題アーカイブ09
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.71 問10
命題「\(3n+5\) が偶数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、
「\(n\) が偶数ならば \(3n+5\) は奇数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(3n+5\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3n+5&=&3 \cdot 2k+5\\[3pt]~~~&=&6k+5\\[3pt]~~~&=&2(3k+2)+1\end{eqnarray}\)
\(3k+2\) は整数であり、\(3n+5\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(3n+5\) が偶数ならば、\(n\) は奇数である [終]
