このページは、「背理法を用いた証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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背理法を用いた証明 で確認できます。
目次
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01円周率 \(\pi\) が無理数であることを用いて、次の命題を証明せよ。\(\sqrt{\pi}\) は無理数である。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.66 練習19
[証明] 「\(\sqrt{\pi}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{\pi}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\pi}&=&r\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\pi&=&r^2\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(r^2\) も有理数となるが、これは \(\pi\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{\pi}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{\pi}\) は無理数である [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\sqrt{3}\) は無理数であることを証明せよ。ただし、次の命題が成り立つことを用いてよいものとする。\(n\) を整数とするとき、\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.67 練習20
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.69 問11
[証明] 「\(\sqrt{3}\) が無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{3}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{3}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(a\) も \(3\) の倍数である
また、\(a=3c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3c)^2&=&3b^2\\[3pt]~~~9c^2&=&3b^2\\[3pt]~~~b^2&=&3c^2\end{eqnarray}\)
\(b^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(b\) も \(3\) の倍数である
\(a\) と \(b\) はともに \(3\) の倍数で公約数 \(3\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組は存在しないことを証明せよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.70 演習問題A 4
[証明] 「\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組が存在する」と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-y^2&=&1\\[3pt]~~~(x+y)(x-y)&=&1\end{eqnarray}\)
\(x~,~y\) は自然数であるので、\(x+y\) と \(x-y\) は整数である
積が \(1\) となる整数の組は、
\(\small [\,1\,]\) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\)
\(\small [\,2\,]\) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\)
\(\small [\,1\,]\) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1\\[3pt]~~~y&=&0\end{eqnarray}\)
\(y=0\) は自然数でないので不適
\(\small [\,2\,]\) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&-1\\[3pt]~~~y&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=-1~,~y=0\) は自然数でないので不適
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\)より、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組は存在しないので、仮定に矛盾する
したがって、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組は存在しない [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04整数 \(a~,~b~,~c\) が \(a^2+b^2=c^2\) を満たすとき、\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも \(1\) つは偶数であることを証明せよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.71 演習問題B 6
[証明] 「\(a~,~b~,~c\) がすべて奇数である」と仮定すると、
整数 \(k~,~l~,~m\) を用いて、\(a=2k+1~,~b=2l+1~,~c=2m+1\) と表せる
\(a^2+b^2=c^2\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2k+1)^2+(2l+1)^2&=&(2m+1)^2\\[3pt]~~~4k^2+4k+1+4l^2+4l+1&=&4m^2+4m+1\\[3pt]~~~2(2k^2+2k+2l^2+2l+1)&=&2(2m^2+2m)+1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
左辺は偶数、右辺は奇数となり矛盾する
したがって、\(a~,~b~,~c\) がすべて奇数であることはないので、
\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも \(1\) つは偶数である [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、次の命題を証明せよ。\(1+3\sqrt{2}\) は無理数である。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.67 練習19
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.71 練習23
[証明] 「\(1+3\sqrt{2}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(1+3\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~1+3\sqrt{2}&=&r\\[3pt]~~~3\sqrt{2}&=&r-1\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(1+3\sqrt{2}\) は無理数である [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(8\) 個の球を青、黄、赤の \(3\) つの箱のどれかに入れる。このとき、入っている球が \(2\) 個以下の箱があることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.68 問10
[証明] 「入っている球が \(2\) 個以下の箱がない」と仮定すると、
青、黄、赤の箱に、\(8\) 個の球をそれぞれ \(a\) 個、\(b\) 個、\(c\) 個入れたとすると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c&=&8\end{eqnarray}\)
入っている球が \(2\) 個以下の箱がないと仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a{\small ~≧~}3~,~b{\small ~≧~}3~,~c{\small ~≧~}3\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c{\small ~≧~}9\end{eqnarray}\)
これは、\(a+b+c=8\) であることに矛盾する
したがって、入っている球が \(2\) 個以下の箱がある [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(2\sqrt{2}+5\) が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。ただし、\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いてよい。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.68 問14
[証明] 「\(2\sqrt{2}+5\) は無理数でない」と仮定すると、
\(2\sqrt{2}+5\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~2\sqrt{2}+5&=&r\\[3pt]~~~2\sqrt{2}&=&r-5\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&\displaystyle \frac{\,r-5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,r-5\,}{\,2\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(2\sqrt{2}+5\) は有理数でないので、
\(2\sqrt{2}+5\) は無理数である [終]
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08\(x\) が有理数であるとき、\(x+\sqrt{3}\) が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。ただし、\(\sqrt{3}\) が無理数であることを用いてよい。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.70 Training 6
[証明] 「\(x+\sqrt{3}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(x+\sqrt{3}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x+\sqrt{3}&=&r\\[3pt]~~~\sqrt{3}&=&r-x\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数、\(x\) が有理数のとき、\(r-x\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{3}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(x+\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(x+\sqrt{3}\) は無理数である [終]
問題アーカイブ09
問題アーカイブ09「直線 \(l\) 上にない点 \({\rm A}\) から、直線 \(l\) に引ける垂線は \(1\) 本だけである」ことを、背理法を用いて証明したい。右の図のように点 \({\rm A}\) から直線 \(l\) に垂線が \(2\) 本引けると仮定すると、\(\triangle {\rm ABC}\) においてどのような矛盾が生じるかを記せ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.72 問11
点 \({\rm A}\) から直線 \(l\) に垂線が \(2\) 本引けると仮定すると、
垂線の足をそれぞれ \({\rm B}~,~{\rm C}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ABl}=90°~,~\angle {\rm ACl}=90°\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm B}=90°~,~\angle {\rm C}=90°\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm A}+\angle {\rm B}+\angle {\rm C}&=&\angle {\rm A}+90°+90°\\[3pt]~~~&=&\angle {\rm A}+180°\end{eqnarray}\)
\(\angle {\rm A} \gt 0°\) であるので、三角形の内角の和が \(180°\) を超え、矛盾する
したがって、直線 \(l\) 上にない点 \({\rm A}\) から、直線 \(l\) に引ける垂線は \(1\) 本だけである
問題アーカイブ10
問題アーカイブ10\(\sqrt{6}\) が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.73 問12
[証明] 「\(\sqrt{6}\) が無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{6}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{6}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{6}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&6b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は偶数であるので、\(a\) も偶数である
また、\(a=2c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2c)^2&=&6b^2\\[3pt]~~~4c^2&=&6b^2\\[3pt]~~~2c^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(2c^2\) は偶数であるので、\(3b^2\) も偶数である
\(3\) は奇数であるので、\(b^2\) は偶数となり、\(b\) も偶数である
\(a\) と \(b\) はともに偶数で公約数 \(2\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{6}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{6}\) は無理数である [終]
問題アーカイブ11
問題アーカイブ11\(\sqrt{6}\) が無理数であることを用いて、\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) が無理数であることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.73 練習問題 6
[証明] 「\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}-\sqrt{2}&=&r\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2&=&r^2\\[3pt]~~~3-2\sqrt{6}+2&=&r^2\\[3pt]~~~-2\sqrt{6}&=&r^2-5\\[3pt]~~~\sqrt{6}&=&-\displaystyle \frac{\,r^2-5\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\sqrt{6}&=&\displaystyle \frac{\,5-r^2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,5-r^2\,}{\,2\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は無理数である [終]
