このページは、「有理数と無理数の性質の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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有理数と無理数の性質の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) は有理数とする。\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、次の命題を証明せよ。\(a+b\sqrt{2}=0 \Longrightarrow a=b=0\)
\({\small (2)}~\)\(a+b\sqrt{2}=-1+3\sqrt{2}\) を満たす有理数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) は有理数とする。\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、次の命題を証明せよ。\(a+b\sqrt{2}=0 \Longrightarrow a=b=0\)
\({\small (2)}~\)\(a+b\sqrt{2}=-1+3\sqrt{2}\) を満たす有理数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.69 問題 4
\({\small (1)}~\)[証明] \(b \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~\)\(a+b\sqrt{2}=-1+3\sqrt{2}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&-1+3\sqrt{2}\\[3pt]~~~a+b\sqrt{2}+1-3\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~(a+1)+(b-3)\sqrt{2}&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) の性質より、
\(a+1=0\) かつ \(b-3=0\)
したがって、\(a=-1~,~b=3\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) は有理数とする。\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、命題「\(a+b\sqrt{2}=0 \Longrightarrow a=b=0\)」を証明せよ。
\({\small (2)}~\)\((a-2)+(b+3)\sqrt{2}=0\) を満たす有理数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) は有理数とする。\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、命題「\(a+b\sqrt{2}=0 \Longrightarrow a=b=0\)」を証明せよ。
\({\small (2)}~\)\((a-2)+(b+3)\sqrt{2}=0\) を満たす有理数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.71 章末問題B 5
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.75 章末問題B 9
\({\small (1)}~\)[証明] \(b \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~\)\((a-2)+(b+3)\sqrt{2}=0\) より、
\({\small (1)}\) の性質より、
\(a-2=0\) かつ \(b+3=0\)
したがって、\(a=2~,~b=-3\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03有理数 \(x~,~y\) について、\(x+y\sqrt{2}=0\) ならば \(x=y=0\) であることを証明せよ。ただし、\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いてよい。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.71 Level Up 4
[証明] \(y \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~y\sqrt{2}&=&-x\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
\(x~,~y\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(y \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(y=0\) が成り立つ
また、\(x+y\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(x~,~y\) が有理数のとき、
\(x+y\sqrt{2}=0\) ならば \(x=y=0\) [終]
