このページは、「直線に関して対称移動した放物線」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01放物線 \(y=-x^2+4x-5\) を \(F\) とする。次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(G\) を原点に関して対称移動し、更に \(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動すると、放物線 \(F\) に重なった。放物線 \(G\) の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\)放物線 \(F\) を、直線 \(y=1\) に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(G\) を原点に関して対称移動し、更に \(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動すると、放物線 \(F\) に重なった。放物線 \(G\) の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\)放物線 \(F\) を、直線 \(y=1\) に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.104 問題 6
\({\small (1)}~\)放物線 \(G\) を原点に関して対称移動し、更に \(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動すると \(F\) に重なるので、
逆に、放物線 \(F\) を \(x\) 軸方向に \(3\) 、\(y\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動し、更に原点に関して対称移動すると放物線 \(G\) となる
まず、放物線 \(F:y=-x^2+4x-5\) を \(x\) 軸方向に \(3\) 、\(y\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動すると、
\(x \to x-3\)
\(y \to y+1\)
に置き換えることになるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y+1&=&-(x-3)^2+4(x-3)-5\\[3pt]~~~y&=&-(x^2-6x+9)+4x-12-5-1\\[3pt]~~~y&=&-x^2+6x-9+4x-12-5-1\\[3pt]~~~y&=&-x^2+10x-27\end{eqnarray}\)
次に、\(y=-x^2+10x-27\) を原点に関して対称移動すると、
\(x \to -x\) 、\(y \to -y\) に置き換えることになるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-y&=&-(-x)^2+10(-x)-27\\[3pt]~~~-y&=&-x^2-10x-27\\[3pt]~~~y&=&x^2+10x+27\end{eqnarray}\)
したがって、放物線 \(G\) は \(y=x^2+10x+27\) となる
\({\small (2)}~\)放物線 \(F:y=-x^2+4x-5\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+4x-5\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4x)-5\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4x+4-4)-5\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4x+4)+4-5\\[3pt]~~~&=&-(x-2)^2-1\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((2~,~-1)\) となる
直線 \(y=1\) に関して対称移動すると、頂点が \((2~,~3)\) になり、下に凸のグラフとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x-2)^2+3\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)+3\\[3pt]~~~&=&x^2-4x+4+3\\[3pt]~~~&=&x^2-4x+7\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=x^2-4x+7\) となる
