このページは、「定義域の片側が動く2次関数の最大値・最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
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定義域の片側が動く2次関数の最大値・最小値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a\) は正の定数とする。関数 \(y=-x^2+2x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.96 練習20
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.93 練習17
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.103 研究 練習1
\(y=-x^2+2x+1\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+2x+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2x)+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2x+1-1)+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2x+1)+1+1
\\[3pt]~~~&=&-(x-1)^2+2\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((1~,~2)\) 、軸の方程式 \(x=1\)
これより、\(a \gt 0\) の範囲で、\(a\) が \(1\) の前後で場合分けが必要となる
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(x=a\) で、\(y=-a^2+2a+1\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a{\small ~≧~}1\) のとき
\(x=1\) で、頂点の \(y\) 座標 \(2\) が最大値
したがって、
最大値は、
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、\(-a^2+2a+1\) （\(x=a\)）
\(a{\small ~≧~}1\) のとき、\(2\) （\(x=1\)）
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\small (1)}~\) \(a\) は正の定数とする。関数 \(y=x^2-4x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) について、定義域の両端 \(x=0~,~x=a\) における \(y\) の値が一致するときの、定数 \(a\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(a\) は正の定数とする。関数 \(y=x^2-4x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(a\) は正の定数とする。関数 \(y=x^2-4x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.96 問5
\({\small (1)}~\)\(y=x^2-4x+1\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x+1
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4+1
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-3\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((2~,~-3)\) 、軸の方程式 \(x=2\)
定義域の両端 \(x=0\) と \(x=a\) における \(y\) の値が一致するので、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-4 \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=a\) のとき、
\(y=a^2-4a+1\)
これらが一致するので、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2-4a+1&=&1
\\[3pt]~~~a^2-4a&=&0
\\[3pt]~~~a(a-4)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&0~,~4\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、
したがって、\(a=4\)
\({\small (2)}~\)
対称性より \(x=4\) のとき \(x=0\) と同じ \(y\) の値となる
これより、\(a \gt 0\) の範囲で、\(a\) が \(2\) と \(4\) の前後で場合分けが必要となる
① \(0 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=0\) で Max
② \(a=2\) のとき
\(x=0\) で Max
③ \(2 \lt a \lt 4\) のとき
\(x=0\) で Max
④ \(a=4\) のとき
\(x=0~,~4\) で Max
⑤ \(a \gt 4\) のとき
\(x=a\) で Max
よって、最大値は①～③、④、⑤の3つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 4\) のとき
\(x=0\) で、\(y=0^2-4 \cdot 0+1=1\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a=4\) のとき
\(x=0~,~4\) で、\(y=1\)
\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 4\) のとき
\(x=a\) で、\(y=a^2-4a+1\)
したがって、
最大値は、
\(0 \lt a \lt 4\) のとき、\(1\) （\(x=0\)）
\(a=4\) のとき、\(1\) （\(x=0~,~4\)）
\(a \gt 4\) のとき、\(a^2-4a+1\) （\(x=a\)）
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(a \gt 0\) のとき、2次関数 \(y=-x^2+6x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値を求めよ。また、そのときの \(x\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.91 問17
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.93 問16
\(y=-x^2+6x+1\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+6x+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-6x)+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-6x+9-9)+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-6x+9)+9+1
\\[3pt]~~~&=&-(x-3)^2+10\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((3~,~10)\) 、軸の方程式 \(x=3\)
これより、\(a \gt 0\) の範囲で、\(a\) が \(3\) の前後で場合分けが必要となる
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 3\) のとき
\(x=a\) で、\(y=-a^2+6a+1\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a{\small ~≧~}3\) のとき
\(x=3\) で、頂点の \(y\) 座標 \(10\) が最大値
したがって、
最大値は、
\(0 \lt a \lt 3\) のとき、\(-a^2+6a+1\) （\(x=a\)）
\(a{\small ~≧~}3\) のとき、\(10\) （\(x=3\)）
