軸が動く2次関数の最大値・最小値

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.97 練習21
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.94 練習18

\(y=2x^2-4ax+2a^2\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2x^2-4ax+2a^2
\\[3pt]~~~&=&2(x^2-2ax)+2a^2
\\[3pt]~~~&=&2(x^2-2ax+a^2-a^2)+2a^2
\\[3pt]~~~&=&2(x^2-2ax+a^2)-2a^2+2a^2
\\[3pt]~~~&=&2(x-a)^2\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~0)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

---

また、軸 \(x=a\) の位置について定義域の両端 \(0~,~1\) の前後で場合分けが必要となる

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---

\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

---

　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 0^2-4a \cdot 0+2a^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき

---

　\(x=a\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2(a-a)^2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

---

　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 1^2-4a \cdot 1+2a^2
\\[3pt]~~~&=&2-4a+2a^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2-4a+2\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

最小値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(2a^2\)　（\(x=0\)）
　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき、\(0\)　（\(x=a\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(2a^2-4a+2\)　（\(x=1\)）

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.97 問6

\(y=x^2-2ax+a^2+1\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)+1
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2+1\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~1)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

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また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) の中央の値は \(x=1\) となる

よって、最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

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---

\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき

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　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&4-4a+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&a^2-4a+5\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき

---

　\(x=0~,~2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot 1 \cdot 0+1^2+1
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

---

　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&a^2+1\end{eqnarray}\)

---

したがって、

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最大値は、
　\(a \lt 1\) のとき、\(a^2-4a+5\)　（\(x=2\)）
　\(a=1\) のとき、\(2\)　（\(x=0~,~2\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(a^2+1\)　（\(x=0\)）

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.104 問題 3

\(y=-x^2+2ax+1\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+2ax+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2ax)+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2ax+a^2-a^2)+1
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2ax+a^2)+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&-(x-a)^2+a^2+1\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~a^2+1)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

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また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) の中央の値は \(x=1\) となる

\({\small (1)}~\)最大値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

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　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-0^2+2a \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき

---

　\(x=a\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(a-a)^2+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&a^2+1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 2\) のとき

---

　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-2^2+2a \cdot 2+1
\\[3pt]~~~&=&-4+4a+1
\\[3pt]~~~&=&4a-3\end{eqnarray}\)

---

したがって、

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最大値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(1\)　（\(x=0\)）
　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき、\(a^2+1\)　（\(x=a\)）
　\(a \gt 2\) のとき、\(4a-3\)　（\(x=2\)）
 
 

\({\small (2)}~\)最小値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

---

---

\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき

---

　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-2^2+2a \cdot 2+1
\\[3pt]~~~&=&-4+4a+1
\\[3pt]~~~&=&4a-3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき

---

　\(x=0~,~2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-0^2+2 \cdot 1 \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

---

　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-0^2+2a \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

最小値は、
　\(a \lt 1\) のとき、\(4a-3\)　（\(x=2\)）
　\(a=1\) のとき、\(1\)　（\(x=0~,~2\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(1\)　（\(x=0\)）

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.107 補充問題 5

\(y=x^2-2ax+a^2+1\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)+1
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2+1\end{eqnarray}\)

---

よって、頂点 \((a~,~1)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

---

また、軸 \(x=a\) の位置について定義域の両端 \(0~,~2\) の前後で場合分けが必要となる

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\({\small (1)}~\) \(a \lt 0\) のとき

---

　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&a^2+1\end{eqnarray}\)

---

したがって、最小値は \(a^2+1\)　（\(x=0\)）

 
 

\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき

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　\(x=a\) で、頂点の \(y\) 座標より、
　\(y=1\)

---

したがって、最小値は \(1\)　（\(x=a\)）

 
 

\({\small (3)}~\) \(2 \lt a\) のとき

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　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&4-4a+a^2+1
\\[3pt]~~~&=&a^2-4a+5\end{eqnarray}\)

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したがって、最小値は \(a^2-4a+5\)　（\(x=2\)）

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.92 問18
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.94 Challenge 問1

\(y=-x^2+2ax-a^2+3\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+2ax-a^2+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2ax)+(-a^2+3)
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2ax+a^2-a^2)+(-a^2+3)
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2ax+a^2)+a^2+(-a^2+3)
\\[3pt]~~~&=&-(x-a)^2+3\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~3)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

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また、軸 \(x=a\) の位置について定義域の両端 \(-1~,~1\) の前後で場合分けが必要となる

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt -1\) のとき

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　\(x=-1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(-1)^2+2a \cdot (-1)-a^2+3
\\[3pt]~~~&=&-1-2a-a^2+3
\\[3pt]~~~&=&-a^2-2a+2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(-1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき

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　\(x=a\) で、頂点の \(y\) 座標より、\(y=3\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

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　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-1^2+2a \cdot 1-a^2+3
\\[3pt]~~~&=&-1+2a-a^2+3
\\[3pt]~~~&=&-a^2+2a+2\end{eqnarray}\)

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したがって、

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最大値は、
　\(a \lt -1\) のとき、\(-a^2-2a+2\)　（\(x=-1\)）
　\(-1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき、\(3\)　（\(x=a\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(-a^2+2a+2\)　（\(x=1\)）

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.98 問題 5

\(y=x^2-2ax+1\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax+1
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2-a^2)+1
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2+1
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2-a^2+1\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~-a^2+1)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

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また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の中央の値は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる

\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、

---

---

\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

---

　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき

---

　\(x=a\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a-a)^2-a^2+1
\\[3pt]~~~&=&-a^2+1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

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　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2a \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&1-2a+1
\\[3pt]~~~&=&-2a+2\end{eqnarray}\)

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したがって、

---

最小値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(1\)　（\(x=0\)）
　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき、\(-a^2+1\)　（\(x=a\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(-2a+2\)　（\(x=1\)）

 
 

\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき

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　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2a \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&-2a+2\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,2\,]}\) \(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき

---

　\(x=0~,~1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 0+1
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき

---

　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

したがって、

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最大値は、
　\(a \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(-2a+2\)　（\(x=1\)）
　\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(1\)　（\(x=0~,~1\)）
　\(a \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(1\)　（\(x=0\)）

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.124 Level Up 2

\(y=x^2-2ax\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2-a^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2-a^2\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~-a^2)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

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また、軸 \(x=a\) の位置について定義域の両端 \(1~,~2\) の前後で場合分けが必要となる

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき

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　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2a \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&1-2a\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a-a)^2-a^2
\\[3pt]~~~&=&-a^2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 2\) のとき

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　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a\end{eqnarray}\)

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したがって、

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最小値は、
　\(a \lt 1\) のとき、\(1-2a\)　（\(x=1\)）
　\(1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき、\(-a^2\)　（\(x=a\)）
　\(a \gt 2\) のとき、\(4-4a\)　（\(x=2\)）