定義域の両端が動く2次関数の最大値・最小値

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.129 演習問題A 5

\(y=x^2-2x\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1)-1
\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2-1\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((1~,~-1)\) 、軸の方程式 \(x=1\)

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さらに、定義域より \(a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a+1\) の中央の値は \(x=a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる

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これより、軸 \(x=1\) の位置について \(a~,~a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~a+1\) の前後で場合分けが必要となる

\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

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　\(x=a+1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+1)^2-2(a+1)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2a+1-2a-2
\\[3pt]~~~&=&a^2-1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき

---

　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=a^2-2a\)

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したがって、

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最小値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(a^2-1\)　（\(x=a+1\)）
　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき、\(-1\)　（\(x=1\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(a^2-2a\)　（\(x=a\)）
 
 
\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=a^2-2a\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき

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　\(x=a~,~a+1\) すなわち \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき

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　\(x=a+1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+1)^2-2(a+1)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2a+1-2a-2
\\[3pt]~~~&=&a^2-1\end{eqnarray}\)

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したがって、

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最大値は、
　\(a \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(a^2-2a\)　（\(x=a\)）
　\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)　（\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)）
　\(a \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(a^2-1\)　（\(x=a+1\)）

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.126 章末問題A 11
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.131 章末問題B 10

\(y=x^2-4x\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-4\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((2~,~-4)\) 、軸の方程式 \(x=2\)

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さらに、定義域より \(a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a+2\) の中央の値は \(x=a+1\) となる

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これより、軸 \(x=2\) の位置について \(a~,~a+1~,~a+2\) の前後で場合分けが必要となる

\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

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　\(x=a+2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+2)^2-4(a+2)
\\[3pt]~~~&=&a^2+4a+4-4a-8
\\[3pt]~~~&=&a^2-4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき

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　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-4 \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-8
\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 2\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=a^2-4a\)

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したがって、

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最小値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(a^2-4\)　（\(x=a+2\)）
　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき、\(-4\)　（\(x=2\)）
　\(a \gt 2\) のとき、\(a^2-4a\)　（\(x=a\)）
 
 
\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=a^2-4a\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき

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　\(x=a~,~a+2\) すなわち \(x=1~,~3\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-4 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

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　\(x=a+2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+2)^2-4(a+2)
\\[3pt]~~~&=&a^2+4a+4-4a-8
\\[3pt]~~~&=&a^2-4\end{eqnarray}\)

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したがって、

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最大値は、
　\(a \lt 1\) のとき、\(a^2-4a\)　（\(x=a\)）
　\(a=1\) のとき、\(-3\)　（\(x=1~,~3\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(a^2-4\)　（\(x=a+2\)）

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 4

\(y=x^2-4x+7\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x+7
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)+3
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2+3\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((2~,~3)\) 、軸の方程式 \(x=2\)

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さらに、定義域より \(a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a+2\) の中央の値は \(x=a+1\) となる

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これより、軸 \(x=2\) の位置について \(a~,~a+1~,~a+2\) の前後で場合分けが必要となる

\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

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　\(x=a+2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+2)^2-4(a+2)+7
\\[3pt]~~~&=&a^2+4a+4-4a-8+7
\\[3pt]~~~&=&a^2+3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき

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　\(x=2\) で、頂点の \(y\) 座標より、
　\(y=3\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 2\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=a^2-4a+7\)

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したがって、

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最小値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(a^2+3\)　（\(x=a+2\)）
　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき、\(3\)　（\(x=2\)）
　\(a \gt 2\) のとき、\(a^2-4a+7\)　（\(x=a\)）
 
 
\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=a^2-4a+7\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき

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　\(x=a~,~a+2\) すなわち \(x=1~,~3\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-4 \cdot 1+7
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

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　\(x=a+2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+2)^2-4(a+2)+7
\\[3pt]~~~&=&a^2+4a+4-4a-8+7
\\[3pt]~~~&=&a^2+3\end{eqnarray}\)

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したがって、

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最大値は、
　\(a \lt 1\) のとき、\(a^2-4a+7\)　（\(x=a\)）
　\(a=1\) のとき、\(4\)　（\(x=1~,~3\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(a^2+3\)　（\(x=a+2\)）

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.124 Level Up 3

\(y=-x^2-2x+3\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2-2x+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1-1)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1)+1+3
\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+4\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((-1~,~4)\) 、軸の方程式 \(x=-1\)

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これより、軸 \(x=-1\) の位置について定義域の両端 \(a~,~a+1\) の前後で場合分けが必要となる

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\({\small [\,1\,]}\) \(a+1 \lt -1\) すなわち \(a \lt -2\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-a^2-2a+3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a{\small ~≦~}-1{\small ~≦~}a+1\) すなわち \(-2{\small ~≦~}a{\small ~≦~}-1\) のとき

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　\(x=-1\) で、頂点の \(y\) 座標より、
　\(y=4\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(-1 \lt a\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=-a^2-2a+3\)

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したがって、

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最大値は、
　\(a \lt -2\) のとき、\(-a^2-2a+3\)　（\(x=a\)）
　\(-2{\small ~≦~}a{\small ~≦~}-1\) のとき、\(4\)　（\(x=-1\)）
　\(-1 \lt a\) のとき、\(-a^2-2a+3\)　（\(x=a\)）