2次関数の最大値・最小値の文章問題

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.98 練習22

一方の針金の長さを \(x~{\rm cm}\) とする

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もう一方の針金の長さは \((40-x)~{\rm cm}\) となるので、

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それぞれの長さが \(0~{\rm cm}\) より大きく \(40~{\rm cm}\) より小さいので、

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　\(0 \lt x \lt 40~,~0 \lt 40-x \lt 40\)

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よって、\(0 \lt x \lt 40\)

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また、

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それぞれの正方形の \(1\) 辺の長さは、

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　\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,40-x\,}{\,4\,}\)

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よって、面積の和を \(S\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,4\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,40-x\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,(40-x)^2\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2+(40-x)^2\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2+1600-80x+x^2\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x^2-80x+1600\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(x^2-40x+800)\end{eqnarray}\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(x^2-40x+400-400+800)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\{(x-20)^2+400\}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(x-20)^2+50\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0 \lt x \lt 40\) より、

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グラフより、\(S\) は \(x=20\) のとき最小値 \(50\) をとる

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したがって、針金を \(20~{\rm cm}\) ずつに切ればよく、面積の和の最小値は \(50~{\rm cm}^2\)

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.99 練習23

\(x\) 秒後の \({\rm PQ}\) の長さを \(l\) とする

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\({\rm AP}=x~,~{\rm BQ}=2x\) より、それぞれの長さが \(0~{\rm cm}\) 以上 \(10~{\rm cm}\) 以下であるので、

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　\(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}10~,~0{{\small ~≦~}}2x{{\small ~≦~}}10\)

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よって、\(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}5\)

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また、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PB}&=&{\rm AB}-{\rm AP}\\[3pt]~~~&=&10-x\end{eqnarray}\)

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よって、\(\triangle {\rm PBQ}\) の三平方の定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~l^2&=&(10-x)^2+(2x)^2\\[3pt]~~~&=&100-20x+x^2+4x^2\\[3pt]~~~&=&5x^2-20x+100\end{eqnarray}\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&5(x^2-4x)+100\\[3pt]~~~&=&5(x^2-4x+4-4)+100\\[3pt]~~~&=&5(x^2-4x+4)+5{\, \small \times \,}(-4)+100\\[3pt]~~~&=&5(x-2)^2-20+100\\[3pt]~~~&=&5(x-2)^2+80\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}5\) より、

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グラフより、\(l^2\) は \(x=2\) のとき最小値 \(80\) をとるので、

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　\(l\) も \(x=2\) のとき最小となる

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したがって、出発してから \(2\) 秒後に最小となり、最小の距離は \(\sqrt{\,80\,}=4\sqrt{\,5\,}~{\rm cm}\)

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.104 問題 2

\({\small (1)}~\)

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高さ \(y\) の関数を平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-5x^2+30x\\[3pt]~~~&=&-5(x^2-6x)\\[3pt]~~~&=&-5(x^2-6x+9-9)\\[3pt]~~~&=&-5(x^2-6x+9)-5{\, \small \times \,}(-9)\\[3pt]~~~&=&-5(x-3)^2+45\end{eqnarray}\)

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また、定義域は \(x{{\small ~≧~}}0\) より、

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これより \(x=3\) のとき最大値 \(45\) をとるので、

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したがって、投げ上げてから \(3\) 秒後に最も高い位置に達し、高さは \(45~{\rm m}\)
 
 
\({\small (2)}~\)

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また、物体が地上に戻ってくるのは、

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\(y=0~{\rm m}\) のときなので、

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\(\begin{eqnarray}~~~0&=&-5x^2+30x\\[3pt]~~~5x^2-30x&=&0\\[3pt]~~~5x(x-6)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~6\end{eqnarray}\)

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\(x=0\) は投げた瞬間なので \(x=6\) のとき

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したがって、投げ上げてから \(6\) 秒後に戻ってくる

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.95 練習19

\({\rm AB}=x~{\rm cm}\) とすると、

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\({\rm AB}+{\rm BC}=14\) より、\({\rm BC}=(14-x)~{\rm cm}\) となる

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それぞれの長さが \(0~{\rm cm}\) より大きいので、

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　\(x \gt 0~,~14-x \gt 0\)

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よって、\(0 \lt x \lt 14\)

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よって、面積を \(S\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}(14-x)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(14x-x^2)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-14x)\end{eqnarray}\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-14x+49-49)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-14x+49)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}(-49)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x-7)^2+\displaystyle \frac{\,49\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0 \lt x \lt 14\) より、

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グラフより、\(S\) は \(x=7\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,2\,}\) をとる

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したがって、面積の最大値は \(\displaystyle \frac{\,49\,}{\,2\,}~{\rm cm}^2\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.99 問題 9

売り値を \(250\) 円から \(x\) 円値下げすると、

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売り値は \((250-x)\) 円、売上個数は \((600+15x)\) 個となる

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\(1\) 個あたりの利益は、売り値 \(-\) 仕入れ値なので、

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　\((250-x)-200=50-x\) （円）

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よって、\(1\) 日の利益を \(y\) とすると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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定義域について、売り値 \(\gt 200\) かつ売上個数 \(\gt 0\) より、

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　\(250-x \gt 200~,~600+15x \gt 0\)

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　\(x \lt 50~,~x \gt -40\)

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よって、\(-40 \lt x \lt 50\)

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グラフより、\(y\) は \(x=5\) のとき最大値 \(30375\) をとる

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\(x=5\) のとき、

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　売り値は \(250-5=245\) （円）

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　仕入れの個数は \(600+15{\, \small \times \,}5=675\) （個）

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したがって、仕入れの個数は \(675\) 個、\(1\) 個あたりの売り値は \(245\) 円

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.126 章末問題B 10

\({\small (1)}~\)

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点 \({\rm P}\) は \(y=-2x+10\) 上の点であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}^2&=&x^2+y^2\\[3pt]~~~&=&x^2+(-2x+10)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4x^2-40x+100\\[3pt]~~~&=&5x^2-40x+100\end{eqnarray}\)

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したがって、\({\rm OP}^2=5x^2-40x+100\)

 
 

\({\small (2)}~\)

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線分 \({\rm AB}\) の定義域を求める

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\({\rm A}\) は \(y=0\) のとき \(-2x+10=0\) より \(x=5\)

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\({\rm B}\) は \(x=0\) のとき \(y=10\)

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よって、\(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}5\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}^2&=&5(x^2-8x)+100\\[3pt]~~~&=&5(x^2-8x+16-16)+100\\[3pt]~~~&=&5(x^2-8x+16)+5{\, \small \times \,}(-16)+100\\[3pt]~~~&=&5(x-4)^2-80+100\\[3pt]~~~&=&5(x-4)^2+20\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}5\) より、

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グラフより、\({\rm OP}^2\) は \(x=4\) のとき最小値 \(20\) をとるので、

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　\({\rm OP}\) も \(x=4\) のとき最小となる

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したがって、線分 \({\rm OP}\) の長さの最小値は \(\sqrt{\,20\,}=2\sqrt{\,5\,}\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.102 練習20

\({\rm AB}=x~{\rm cm}\) とすると、

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\({\rm AB}+{\rm BC}=10\) より、\({\rm BC}=(10-x)~{\rm cm}\) となる

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それぞれの長さが \(0~{\rm cm}\) より大きいので、

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　\(x \gt 0~,~10-x \gt 0\)

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よって、\(0 \lt x \lt 10\)

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よって、面積を \(S\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}(10-x)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(10x-x^2)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-10x)\end{eqnarray}\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-10x+25-25)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-10x+25)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}(-25)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x-5)^2+\displaystyle \frac{\,25\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0 \lt x \lt 10\) より、

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グラフより、\(S\) は \(x=5\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,25\,}{\,2\,}\) をとる

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したがって、面積の最大値は \(\displaystyle \frac{\,25\,}{\,2\,}~{\rm cm}^2\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.130 章末問題A 3

放物線 \(y=4-x^2\) は \(y\) 軸について対称であるので、

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\({\rm C}(x~,~0)\) とすると \({\rm D}(x~,~4-x^2)\) となる

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対称性より、\({\rm BC}=2x~,~{\rm CD}=4-x^2\) となる

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\({\rm C}\) の \(x\) 座標は \(0 \lt x \lt 2\) であるので、

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よって、周の長さを \(l\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~l&=&2(2x+4-x^2)\\[3pt]~~~&=&2(-x^2+2x+4)\\[3pt]~~~&=&-2x^2+4x+8\\[3pt]~~~&=&-2(x^2-2x)+8\end{eqnarray}\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2(x^2-2x+1-1)+8\\[3pt]~~~&=&-2(x^2-2x+1)-2{\, \small \times \,}(-1)+8\\[3pt]~~~&=&-2(x-1)^2+2+8\\[3pt]~~~&=&-2(x-1)^2+10\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0 \lt x \lt 2\) より、

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グラフより、\(l\) は \(x=1\) のとき最大値 \(10\) をとる

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\(x=1\) のとき、\({\rm BC}=2{\, \small \times \,}1=2\)

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したがって、辺 \({\rm BC}\) の長さは \(2\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.94 問19

一方の針金の長さを \(x~{\rm cm}\) とすると、

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もう一方の針金の長さは \((12-x)~{\rm cm}\) となる

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それぞれの長さが \(0~{\rm cm}\) より大きく \(12~{\rm cm}\) より小さいので、

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　\(0 \lt x \lt 12~,~0 \lt 12-x \lt 12\)

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よって、\(0 \lt x \lt 12\)

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また、

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それぞれの正方形の \(1\) 辺の長さは、

---

　\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,12-x\,}{\,4\,}\)

---

よって、面積の和を \(S\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,4\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,12-x\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,(12-x)^2\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2+(12-x)^2\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2+144-24x+x^2\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x^2-24x+144\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(x^2-12x+72)\end{eqnarray}\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(x^2-12x+36-36+72)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\{(x-6)^2+36\}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(x-6)^2+\displaystyle \frac{\,36\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(x-6)^2+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0 \lt x \lt 12\) より、

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グラフより、\(S\) は \(x=6\) のとき最小値 \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) をとる

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したがって、針金を \(6~{\rm cm}\) ずつに切ったとき、面積の和は最小値 \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}~{\rm cm}^2\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 5

売り値を \(120\) 円から \(x\) 円値上げすると、

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売り値は \((120+x)\) 円、売上個数は \((600-20x)\) 個となる

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\(1\) 個あたりの利益は、売り値 \(-\) 仕入れ値なので、

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　\((120+x)-100=20+x\) （円）

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よって、\(1\) 日の利益を \(y\) とすると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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定義域について、売り値 \(\gt 100\) かつ売上個数 \(\gt 0\) より、

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　\(120+x \gt 100~,~600-20x \gt 0\)

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　\(x \gt -20~,~x \lt 30\)

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よって、\(-20 \lt x \lt 30\)

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グラフより、\(y\) は \(x=5\) のとき最大値 \(12500\) をとる

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\(x=5\) のとき、売り値は \(120+5=125\) （円）

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したがって、\(1\) 個 \(125\) 円で売ればよい

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.95 問17

一方の辺の長さを \(x~{\rm cm}\) とすると、

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もう一方の辺の長さは \((20-x)~{\rm cm}\) となる

---

それぞれの長さが \(0~{\rm cm}\) より大きいので、

---

　\(x \gt 0~,~20-x \gt 0\)

---

よって、\(0 \lt x \lt 20\)

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よって、面積を \(S\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}(20-x)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(20x-x^2)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-20x)\end{eqnarray}\)

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平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-20x+100-100)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2-20x+100)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}(-100)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x-10)^2+50\end{eqnarray}\)

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定義域は \(0 \lt x \lt 20\) より、

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グラフより、\(S\) は \(x=10\) のとき最大値 \(50\) をとる

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したがって、面積の最大値は \(50~{\rm cm}^2\)