このページは、「2次関数の最小値の最大・最小」の練習問題アーカイブページとなります。
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2次関数の最小値の最大・最小 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x\) の \(2\) 次関数 \(y=2x^2+4mx+3m\) がある。
\({\small (1)}~\) この \(2\) 次関数の最小値 \(l\) を、\(m\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(m\) の値を変化させて、\({\small (1)}\) における最小値 \(l\) が最も大きくなるときの \(m\) の値と、そのときの \(l\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) この \(2\) 次関数の最小値 \(l\) を、\(m\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(m\) の値を変化させて、\({\small (1)}\) における最小値 \(l\) が最も大きくなるときの \(m\) の値と、そのときの \(l\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.130 演習問題B 9
\({\small (1)}~\)
この関数を \(x\) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2x^2+4mx+3m\\[3pt]~~~&=&2(x^2+2mx)+3m\\[3pt]~~~&=&2(x^2+2mx+m^2-m^2)+3m\\[3pt]~~~&=&2(x^2+2mx+m^2)-2m^2+3m\\[3pt]~~~&=&2(x+m)^2-2m^2+3m\end{eqnarray}\)
頂点 \((-m~,~-2m^2+3m)\) で下に凸のグラフとなる
したがって、\(x=-m\) のとき
最小値 \(l=-2m^2+3m\) となる
\({\small (2)}~\)
\(l\) を \(m\) の関数として平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&-2m^2+3m\\[3pt]~~~&=&-2\left(m^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}m\right)\\[5pt]~~~&=&-2\left(m^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}m+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-2\left(m^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}m+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\right)-2{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-2\left(m-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
頂点 \(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\right)\) で上に凸のグラフとなる
したがって、\(l\) は \(m=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) のとき
最大値 \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\) をとる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(x\) の \(2\) 次関数 \(y=x^2-mx+m\) の最小値を \(k\) とする。
\({\small (1)}~\) \(k\) を \(m\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(k\) の値を最大にする \(m\) の値と、\(k\) の最大値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(k\) を \(m\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(k\) の値を最大にする \(m\) の値と、\(k\) の最大値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.125 章末問題A 3
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.130 章末問題A 4
\({\small (1)}~\)
この関数を \(x\) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-mx+m\\[3pt]~~~&=&\left(x^2-mx+\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}\right)+m\\[5pt]~~~&=&\left(x^2-mx+\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}+m\\[5pt]~~~&=&\left(x-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}+m\end{eqnarray}\)
頂点 \(\left(\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}+m\right)\) で下に凸のグラフとなる
したがって、\(x=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}\) のとき
最小値 \(k=-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}+m\) となる
\({\small (2)}~\)
\(k\) を \(m\) の関数として平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~k&=&-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}+m\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(m^2-4m)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(m^2-4m+4-4)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(m^2-4m+4)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}(-4)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(m-2)^2+1\end{eqnarray}\)
頂点 \((2~,~1)\) で上に凸のグラフとなる
したがって、\(k\) は \(m=2\) のとき
最大値 \(1\) をとる
