このページは、「定義域ありの最大値・最小値と2次関数の決定」の練習問題アーカイブページとなります。
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定義域ありの最大値・最小値と2次関数の決定 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a \neq 0\) とする。関数 \(y=ax^2-4ax+b\) \((1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4)\) の最大値が \(6\) で，最小値が \(-2\) であるとき，定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.129 演習問題A 4
関数 \(y=ax^2-4ax+b\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a(x^2-4x)+b\\[3pt]~~~&=&a(x^2-4x+4-4)+b\\[3pt]~~~&=&a(x^2-4x+4)+a(-4)+b\\[3pt]~~~&=&a(x-2)^2-4a+b\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) のとき、下に凸のグラフであり、定義域が \(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) である
これより、\(x=4\) のとき最大値をとるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a \cdot 4^2-4a \cdot 4+b\\[3pt]~~~&=&16a-16a+b\\[3pt]~~~&=&b\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき最小値をとるので、頂点の \(y\) 座標より、
\(y=-4a+b\)
ここで、最大値が \(6\) 、最小値が \(-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}b=6~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\-4a+b=-2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に \({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-4a+6&=&-2\\[3pt]~~~-4a&=&-8\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
\(a=2 \gt 0\) より、条件を満たす
したがって、\(a=2~,~b=6\)
\(a \lt 0\) のとき、上に凸のグラフであり、定義域が \(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) である
これより、\(x=2\) のとき最大値をとるので、頂点の \(y\) 座標より、
\(y=-4a+b\)
\(x=4\) のとき最小値をとるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a \cdot 4^2-4a \cdot 4+b\\[3pt]~~~&=&16a-16a+b\\[3pt]~~~&=&b\end{eqnarray}\)
ここで、最大値が \(6\) 、最小値が \(-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}-4a+b=6~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\b=-2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-4a+(-2)&=&6\\[3pt]~~~-4a&=&8\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
\(a=-2 \lt 0\) より、条件を満たす
したがって、\(a=-2~,~b=-2\)
以上より、\(a=2~,~b=6\) または \(a=-2~,~b=-2\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02２次関数 \(y=x^2+2x+c\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) の最大値が \(1\) となるような \(c\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.98 問題 7
関数 \(y=x^2+2x+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2+2x+1)-1+c\\[3pt]~~~&=&(x+1)^2+c-1\end{eqnarray}\)
よって、頂点が \((-1~,~c-1)\) 、下に凸のグラフで、定義域が \(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) である
グラフより、\(x=2\) で最大値 \(1\) をとるので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&2^2+2 \cdot 2+c\\[3pt]~~~1&=&4+4+c\\[3pt]~~~1&=&8+c\\[3pt]~~~c&=&1-8\\[3pt]~~~c&=&-7\end{eqnarray}\)
したがって、\(c=-7\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(a \gt 0\) である２次関数 \(y=ax^2+4ax+b\) の定義域が \(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) であるとき、その値域は \(-1{\small ~≦~}y{\small ~≦~}5\) であるという。このとき、定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.125 練習問題B 10
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.124 Level Up 5
関数 \(y=ax^2+4ax+b\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a(x^2+4x)+b\\[3pt]~~~&=&a(x^2+4x+4-4)+b\\[3pt]~~~&=&a(x^2+4x+4)+a(-4)+b\\[3pt]~~~&=&a(x+2)^2-4a+b\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、下に凸のグラフであり、定義域が \(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) である
これより、\(x=4\) のとき最大値をとるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a \cdot 4^2+4a \cdot 4+b\\[3pt]~~~&=&16a+16a+b\\[3pt]~~~&=&32a+b\end{eqnarray}\)
\(x=-2\) のとき最小値をとるので、頂点の \(y\) 座標より、
\(y=-4a+b\)
ここで、値域が \(-1{\small ~≦~}y{\small ~≦~}5\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}32a+b=5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\-4a+b=-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~32a+b&=&5\\~~-\big{)}~~~-4a+b&=&-1\\\hline 36a&=&6\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,36\,}\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}+b&=&-1\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+b&=&-1\\[5pt]~~~b&=&-1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~b&=&\displaystyle \frac{\,-3+2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~b&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}~,~b=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
