定義域なしの最大値・最小値と2次関数の決定

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.104 問題 5

定義域のない2次関数が \(x=2\) のとき最大値 \(8\) をとるので、

---

---

このように頂点が \((2~,~8)\) 、上に凸のグラフとなり、\(a \lt 0\) として、

---

　\(y=a(x-2)^2+8\)

---

\(x=1\) のとき \(y=7\) となるので代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~7&=&a(1-2)^2+8\\[3pt]~~~7&=&a \cdot (-1)^2+8\\[3pt]~~~7&=&a+8\\[3pt]~~~a&=&7-8\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)

---

したがって、求める2次関数は、

---

　\(y=-(x-2)^2+8\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.99 問題 11
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.107 補充問題 6(3)

定義域のない2次関数が \(x=2\) のとき最大値 \(8\) をとるので、

---

---

このように頂点が \((2~,~8)\) 、上に凸のグラフとなり、\(a \lt 0\) として、

---

　\(y=a(x-2)^2+8\)

---

\(x=1\) のとき \(y=5\) となるので代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~5&=&a(1-2)^2+8\\[3pt]~~~5&=&a \cdot (-1)^2+8\\[3pt]~~~5&=&a+8\\[3pt]~~~a&=&5-8\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)

---

したがって、求める2次関数は、

---

　\(y=-3(x-2)^2+8\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.98 問題 6(3)

定義域のない2次関数が \(x=1\) のとき最大値 \(5\) をとるので、

---

---

このように頂点が \((1~,~5)\) 、上に凸のグラフとなり、\(a \lt 0\) として、

---

　\(y=a(x-1)^2+5\)

---

\(x=-1\) のとき \(y=1\) となるので代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~1&=&a(-1-1)^2+5\\[3pt]~~~1&=&a \cdot (-2)^2+5\\[3pt]~~~1&=&4a+5\\[3pt]~~~-4a&=&5-1\\[3pt]~~~-4a&=&4\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)

---

したがって、求める2次関数は、

---

　\(y=-(x-1)^2+5\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 3

2次関数 \(y=kx^2-2kx+k^2-k-3\) を平方完成すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~y&=&k(x^2-2x)+k^2-k-3\\[3pt]~~~&=&k(x^2-2x+1-1)+k^2-k-3\\[3pt]~~~&=&k(x^2-2x+1)+k \cdot (-1)+k^2-k-3\\[3pt]~~~&=&k(x-1)^2+k^2-2k-3\end{eqnarray}\)

 
 

\({\small (1)}~\) 最小値が \(5\) となるとき、

---

定義域がないので、下に凸のグラフであり、頂点が最小値となる

---

---

よって、\(k \gt 0\) であり、\(k^2-2k-3=5\) となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~k^2-2k-3&=&5\\[3pt]~~~k^2-2k-8&=&0\\[3pt]~~~(k-4)(k+2)&=&0\\[3pt]~~~k&=&4~,~-2\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(k \gt 0\) であるので、

---

　\(k=4\) となる

 
 

\({\small (2)}~\) 最大値が \(12\) となるとき、

---

定義域がないので、上に凸のグラフであり、頂点が最大値となる

---

---

よって、\(k \lt 0\) であり、\(k^2-2k-3=12\) となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~k^2-2k-3&=&12\\[3pt]~~~k^2-2k-15&=&0\\[3pt]~~~(k-5)(k+3)&=&0\\[3pt]~~~k&=&5~,~-3\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(k \lt 0\) であるので、

---

　\(k=-3\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.124 Level Up 4

\({\small (1)}~\) 定義域のない2次関数が \(x=1\) のとき最大値 \(7\) をとるので、

---

---

このように頂点が \((1~,~7)\) 、上に凸のグラフとなり、\(a \lt 0\) として、

---

　\(y=a(x-1)^2+7\)

---

\(x^2\) の係数が \(-3\) であるので、\(a=-3\)

---

したがって、求める2次関数は、

---

　\(y=-3(x-1)^2+7\)

 
 

\({\small (2)}~\) 定義域のない2次関数が \(x=-2\) のとき最小値 \(1\) をとるので、

---

---

このように頂点が \((-2~,~1)\) 、下に凸のグラフとなり、\(a \gt 0\) として、

---

　\(y=a(x+2)^2+1\)

---

\(x=1\) のとき \(y=19\) となるので代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~19&=&a(1+2)^2+1\\[3pt]~~~19&=&a \cdot 3^2+1\\[3pt]~~~19&=&9a+1\\[3pt]~~~9a&=&18\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)

---

したがって、求める2次関数は、

---

　\(y=2(x+2)^2+1\)