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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(y=(x-a)^2+2a-1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1)\) の最小値が \(0\) であるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.130 演習問題B 7
\(y=(x-a)^2+2a-1\) について、
頂点 \((a~,~2a-1)\) 、軸の方程式 \(x=a\)
定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) において、
軸 \(x=a\) の位置が \(0\) の前後と \(1\) の前後で場合分けをすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(a\lt 0\) のとき
\(x=0\) で最小値となり、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(0-a)^2+2a-1
\\[3pt]~~~&=&a^2+2a-1\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+2a-1&=&0
\\[3pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,-2 \pm \sqrt{\,4+4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-1 \pm \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(-1+\sqrt{\,2\,}\gt 0\) より \(a\lt 0\) を満たさないので、
\(a=-1-\sqrt{\,2\,}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき
\(x=a\) で最小値となり、頂点の \(y\) 座標より \(2a-1\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~2a-1&=&0
\\[3pt]~~~2a&=&1
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) より、\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(a\gt 1\) のとき
\(x=1\) で最小値となり、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(1-a)^2+2a-1
\\[3pt]~~~&=&1-2a+a^2+2a-1
\\[3pt]~~~&=&a^2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&0
\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
\(a\gt 1\) より、不適
したがって、定数 \(a\) の値は \(a=-1-\sqrt{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる。
