平行移動後の2次関数の決定

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.129 演習問題A 1

\({\small (1)}~\) \(y=x^2-3x+2\) を平行移動した放物線は \(x^2\) の係数が \(1\) であるので、

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　\(y=x^2+bx+c\)

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よって、点 \((1~,~1)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~1&=&1^2+b \cdot 1+c\\[3pt]~~~1&=&1+b+c\\[3pt]~~~1-1&=&b+c\\[3pt]~~~0&=&b+c\\[3pt]~~~b+c&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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また、点 \((2~,~3)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~3&=&2^2+b \cdot 2+c\\[3pt]~~~3&=&4+2b+c\\[3pt]~~~3-4&=&2b+c\\[3pt]~~~-1&=&2b+c\\[3pt]~~~2b+c&=&-1~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~2b+c&=&-1\\-\big{)}~b+c&=&0\\\hline b&=&-1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~-1+c&=&0\\[3pt]~c&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、求める放物線の2次関数は、

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　\(y=x^2-x+1\) となる

 
 

\({\small (2)}~\) 平行移動した放物線の頂点の \(x\) 座標を \(p\) とおくと、

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頂点は放物線 \(y=-x^2\) 上にあるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=-p^2\) となる

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また、\(y=2x^2\) を平行移動した放物線であり、\(x^2\) の係数は \(2\)、頂点が \((p~,~-p^2)\) となるので、

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　\(y=2(x-p)^2-p^2~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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この放物線が点 \((2~,~-7)\) を通るので代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~-7&=&2(2-p)^2-p^2\\[3pt]~-7&=&2(4-4p+p^2)-p^2\\[3pt]~~~-7&=&8-8p+2p^2-p^2\\[3pt]~~~0&=&2p^2-p^2-8p+8+7\\[3pt]~~~0&=&p^2-8p+15\\[3pt]~~~p^2-8p+15&=&0\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~(p-3)(p-5)&=&0\\[3pt]~~~p&=&3~,~5\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に \(p=3\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2(x-3)^2-3^2\\[3pt]~~~&=&2(x-3)^2-9\end{eqnarray}\)

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また、\({\small [\,1\,]}\) に \(p=5\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2(x-5)^2-5^2\\[3pt]~~~&=&2(x-5)^2-25\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(y=2(x-3)^2-9\)

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　\(y=2(x-5)^2-25\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.125 章末問題A 1
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.130 章末問題A 1

\(y=-2x^2+3x+1\) を平行移動した放物線は \(x^2\) の係数が \(-2\) であるので、

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　\(y=-2x^2+bx+c\)

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よって、点 \((-2~,~0)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~0&=&-2 \cdot (-2)^2+b \cdot (-2)+c\\[3pt]~~~0&=&-8-2b+c\\[3pt]~~~0+8&=&-2b+c\\[3pt]~~~8&=&-2b+c\\[3pt]~~~-2b+c&=&8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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また、点 \((1~,~12)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~12&=&-2 \cdot 1^2+b \cdot 1+c\\[3pt]~~~12&=&-2+b+c\\[3pt]~~~12+2&=&b+c\\[3pt]~~~14&=&b+c\\[3pt]~~~b+c&=&14~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~b+c&=&14\\-\big{)}~-2b+c&=&8\\\hline 3b&=&6\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~2+c&=&14\\[3pt]~c&=&14-2\\[3pt]~c&=&12\end{eqnarray}\)

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したがって、求める放物線の方程式は、

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　\(y=-2x^2+2x+12\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 2

平行移動した放物線の頂点の \(x\) 座標を \(p\) とおくと、

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頂点は直線 \(y=-2x+1\) 上にあるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=-2p+1\) となる

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また、\(y=-x^2\) を平行移動した放物線であり、\(x^2\) の係数は \(-1\)、頂点が \((p~,~-2p+1)\) となるので、

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　\(y=-(x-p)^2-2p+1~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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この放物線が点 \((2~,~-6)\) を通るので代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~-6&=&-(2-p)^2-2p+1\\[3pt]~-6&=&-(4-4p+p^2)-2p+1\\[3pt]~~~-6&=&-4+4p-p^2-2p+1\\[3pt]~~~0&=&-p^2+4p-2p-4+1+6\\[3pt]~~~0&=&-p^2+2p+3\\[3pt]~~~p^2-2p-3&=&0\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~(p-3)(p+1)&=&0\\[3pt]~~~p&=&3~,~-1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に \(p=3\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(x-3)^2-2 \cdot 3+1\\[3pt]~~~&=&-(x-3)^2-5\end{eqnarray}\)

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また、\({\small [\,1\,]}\) に \(p=-1\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(x+1)^2-2 \cdot (-1)+1\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+3\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(y=-(x-3)^2-5\)

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　\(y=-(x+1)^2+3\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.125 練習問題B 11

平行移動後の放物線は頂点が \((1~,~0)\) である

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\(x\) 軸方向に \(4\)、\(y\) 軸方向に \(-5\) の平行移動を逆にすると、もとの放物線の頂点は、

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　\((1-4~,~0-(-5))=(-3~,~5)\)

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よって、\(x^2\) の係数を \(a\) として、もとの放物線は、

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　\(y=a(x+3)^2+5\)

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この放物線が点 \((-2~,~6)\) を通るので代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~6&=&a(-2+3)^2+5\\[3pt]~~~6&=&a \cdot 1^2+5\\[3pt]~~~6&=&a+5\\[3pt]~~~a&=&6-5\\[3pt]~~~a&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、求める2次関数は、

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　\(y=(x+3)^2+5\) となる