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問題アーカイブ01
問題アーカイブ012次方程式 \(x^2-8x+k=0\) の1つの解が \(4-\sqrt{3}\) であるような定数 \(k\) の値を求めよ。また、他の解を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.120 問題 11
\(x^2-8x+k=0\) の解の \(1\) つの \(x=4-\sqrt{3}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(4-\sqrt{3})^2-8(4-\sqrt{3})+k&=&0
\\[3pt]~~~(16-8\sqrt{3}+3)-32+8\sqrt{3}+k&=&0
\\[3pt]~~~19-8\sqrt{3}-32+8\sqrt{3}+k&=&0
\\[3pt]~~~-13+k&=&0
\\[3pt]~~~k&=&13\end{eqnarray}\)
よって、この2次方程式は、\(x^2-8x+13=0\)
\(x^2+2 \cdot (-4)x+13=0\) として解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-4)\pm\sqrt{\,(-4)^2-1 \cdot 13\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&4\pm\sqrt{\,16-13\,}
\\[5pt]~~~&=&4\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\(k=13\) で、他の解は \(x=4+\sqrt{3}\) となる
【別解】解の \(1\) つの \(x=4-\sqrt{3}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&4-\sqrt{3}
\\[3pt]~~~x-4&=&-\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-4)^2&=&(-\sqrt{3})^2
\\[3pt]~~~x^2-8x+16&=&3
\\[3pt]~~~x^2-8x+13&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2-8x+k=0\) と比較して、\(k=13\) となる
また、この2次方程式は、\(x^2-8x+13=0\)
\(x^2+2 \cdot (-4)x+13=0\) として解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-4)\pm\sqrt{\,(-4)^2-1 \cdot 13\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&4\pm\sqrt{\,16-13\,}
\\[5pt]~~~&=&4\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\(k=13\) で、他の解は \(x=4+\sqrt{3}\) となる
