このページは、「放物線がx軸を切り取る線分の長さ」の練習問題アーカイブページとなります。
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放物線がx軸を切り取る線分の長さ で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01放物線 \(y=x^2+x-1\) は \(x\) 軸と異なる2点で交わる。この交点をA、Bとする。この放物線が \(x\) 軸から切り取る線分ABの長さを求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.128 問題 7
放物線 \(y=x^2+x-1\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(x^2+x-1=0\) の解より、
解の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,1^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,1+4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{5}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、2次関数と \(x\) 軸との共有点の座標は、
\({\rm A}\left(\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{5}\,}{\,2\,}~,~0\right)~,~{\rm B}\left(\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{5}\,}{\,2\,}~,~0\right)\)
これより、放物線が \(x\) 軸から切り取る線分ABの長さは、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{5}\,}{\,2\,}-\left(\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{5}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1+\sqrt{5})-(-1-\sqrt{5})\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{5}+1+\sqrt{5}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}=\sqrt{5}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02放物線 \(y=x^2+2x-2\) は \(x\) 軸と2点で交わる。その交点をA、Bとする。この放物線が \(x\) 軸から切り取る線分ABの長さを求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.124 問題 13
放物線 \(y=x^2+2x-2\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(x^2+2x-2=0\) の解より、
\(x^2+2 \cdot 1 \cdot x-2=0\) として解の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,1^2-1 \cdot (-2)\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\pm\sqrt{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
よって、2次関数と \(x\) 軸との共有点の座標は、
\({\rm A}(-1-\sqrt{3}~,~0)~,~{\rm B}(-1+\sqrt{3}~,~0)\)
これより、放物線が \(x\) 軸から切り取る線分ABの長さは、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&(-1+\sqrt{3})-(-1-\sqrt{3})
\\[3pt]~~~&=&-1+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}=2\sqrt{3}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03放物線 \(y=x^2+4x+2\) は \(x\) 軸と2点で交わる。その交点をA、Bとする。この放物線が \(x\) 軸から切り取る線分ABの長さを求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.129 補充問題 7
放物線 \(y=x^2+4x+2\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(x^2+4x+2=0\) の解より、
\(x^2+2 \cdot 2 \cdot x+2=0\) として解の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-2\pm\sqrt{\,2^2-1 \cdot 2\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\pm\sqrt{\,4-2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\pm\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
よって、2次関数と \(x\) 軸との共有点の座標は、
\({\rm A}(-2-\sqrt{2}~,~0)~,~{\rm B}(-2+\sqrt{2}~,~0)\)
これより、放物線が \(x\) 軸から切り取る線分ABの長さは、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&(-2+\sqrt{2})-(-2-\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&-2+\sqrt{2}+2+\sqrt{2}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}=2\sqrt{2}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ042次関数 \(y=x^2-6x+4\) のグラフが \(x\) 軸から切り取る線分の長さを求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.120 問題 12
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.125 Level Up 7
放物線 \(y=x^2-6x+4\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(x^2-6x+4=0\) の解より、
\(x^2+2 \cdot (-3) \cdot x+4=0\) として解の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-3)\pm\sqrt{\,(-3)^2-1 \cdot 4\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&3\pm\sqrt{\,9-4\,}
\\[5pt]~~~&=&3\pm\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
よって、2次関数と \(x\) 軸との共有点の座標は、
\((3-\sqrt{5}~,~0)~,~(3+\sqrt{5}~,~0)\)
これより、放物線が \(x\) 軸から切り取る線分の長さ \(l\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})
\\[3pt]~~~&=&3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\sqrt{5}\) となる
