このページは、「2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負」の練習問題アーカイブページとなります。
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2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a~,~b~,~c\) の値を入力すると、関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフが表示されるコンピュータソフトがある。ある \(a~,~b~,~c\) の値を入力すると、グラフは図のように表示された。
\({\small (1)}~\)\(a~,~b~,~c\) の符号をいえ。
\({\small (2)}~\)この \(a~,~c\) の値を変えずに、\(b\) の値だけを変化させたとき、変わらないものを次の中からすべて選べ。また、変わらない理由を説明せよ。
① 放物線と \(x\) 軸との共有点の個数
② 放物線の頂点の \(x\) 座標の符号
③ 放物線の頂点の \(y\) 座標の符号
\({\small (1)}~\)\(a~,~b~,~c\) の符号をいえ。
\({\small (2)}~\)この \(a~,~c\) の値を変えずに、\(b\) の値だけを変化させたとき、変わらないものを次の中からすべて選べ。また、変わらない理由を説明せよ。
① 放物線と \(x\) 軸との共有点の個数
② 放物線の頂点の \(x\) 座標の符号
③ 放物線の頂点の \(y\) 座標の符号
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.128 問題 13
\({\small (1)}~\)
上に凸のグラフより、\(a \lt 0\)
\(y\) 切片が正より、\(c \gt 0\)
また、\(y=ax^2+bx+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax^2+bx+c
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b \gt 0\)
したがって、\(a \lt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0\)
\({\small (2)}~\)\(a~,~c\) の値を変えずに \(b\) の値だけを変化させたとき、変わらないものについて、
① 放物線と \(x\) 軸との共有点の個数について
頂点の \(y\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\) で、\(a \lt 0\) より \(4a \lt 0\) なので、
頂点の \(y\) 座標の正負は \(b^2-4ac\) の正負で決まる。
\(a \lt 0~,~c \gt 0\) より \(ac \lt 0\) なので \(-4ac \gt 0\)
よって、\(b^2-4ac=b^2+(-4ac) \gt 0\) は常に成り立つ。
\(b^2-4ac \gt 0\) かつ \(4a \lt 0\) より、
\(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,} \gt 0\) は常に成り立つ。
よって、頂点の \(y\) 座標は常に正なので、グラフは常に \(x\) 軸と2点で交わり、共有点の個数は変わらない
② 放物線の頂点の \(x\) 座標の符号について
頂点の \(x\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、\(a\) は変わらないが \(b\) が変わるので、頂点の \(x\) 座標の値が変わり、符号も変わる可能性がある。
よって、変わる
③ 放物線の頂点の \(y\) 座標の符号について
頂点の \(y\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\) である。
①より、\(a \lt 0~,~c \gt 0\) のとき \(b^2-4ac \gt 0\) が常に成り立ち、\(4a \lt 0\) より、
\(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,} \gt 0\) は常に成り立つ。
よって、頂点の \(y\) 座標の符号は常に正で、変わらない
したがって、変わらないものは ① と ③
① は、\(a \lt 0~,~c \gt 0\) より \(b^2-4ac \gt 0\) が常に成り立つので、判別式 \(D \gt 0\) となり、共有点の個数は常に2個で変わらない。
③ は、同様に \(b^2-4ac \gt 0\) かつ \(4a \lt 0\) より、頂点の \(y\) 座標は常に正で変わらない。
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02下の図は、いずれも2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフである。それぞれの場合について、\(a~,~b~,~c\) および \(b^2-4ac\) の符号をいえ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.128 演習問題A 2
\({\small (1)}~\)
下に凸のグラフより、\(a \gt 0\)
\(y\) 切片が負より、\(c \lt 0\)
頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) であるので、\(b \lt 0\)
グラフが \(x\) 軸と2点で交わるので、\(b^2-4ac \gt 0\)
したがって、\(a \gt 0~,~b \lt 0~,~c \lt 0~,~b^2-4ac \gt 0\)
\({\small (2)}~\)
下に凸のグラフより、\(a \gt 0\)
\(y\) 切片が正より、\(c \gt 0\)
頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) であるので、\(b \gt 0\)
グラフが \(x\) 軸と共有点をもたないので、\(b^2-4ac \lt 0\)
したがって、\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~b^2-4ac \lt 0\)
\({\small (3)}~\)
上に凸のグラフより、\(a \lt 0\)
\(y\) 切片が負より、\(c \lt 0\)
頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b \gt 0\)
グラフが \(x\) 軸と共有点をもたないので、\(b^2-4ac \lt 0\)
したがって、\(a \lt 0~,~b \gt 0~,~c \lt 0~,~b^2-4ac \lt 0\)
\({\small (4)}~\)
上に凸のグラフより、\(a \lt 0\)
\(y\) 切片が負より、\(c \lt 0\)
頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b \lt 0\)
グラフが \(x\) 軸と2点で交わるので、\(b^2-4ac \gt 0\)
したがって、\(a \lt 0~,~b \lt 0~,~c \lt 0~,~b^2-4ac \gt 0\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフが右の図のようになるとき、次の値の符号を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a\) \({\small (2)}~\)\(c\) \({\small (3)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\)
\({\small (4)}~\)\(b\) \({\small (5)}~\)\(b^2-4ac\) \({\small (6)}~\)\(a+b+c\)
\({\small (1)}~\)\(a\) \({\small (2)}~\)\(c\) \({\small (3)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\)
\({\small (4)}~\)\(b\) \({\small (5)}~\)\(b^2-4ac\) \({\small (6)}~\)\(a+b+c\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.125 章末問題A 4
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.130 章末問題A 5
\({\small (1)}~\)上に凸のグラフより、\(a \lt 0\)
\({\small (2)}~\)\(y\) 切片が正より、\(c \gt 0\)
\({\small (3)}~\)\(y=ax^2+bx+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax^2+bx+c
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は \(0\) と \(2\) の間にあるので、
\(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,} \gt 0\)
\({\small (4)}~\)\(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,} \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,} \lt 0\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b \gt 0\)
\({\small (5)}~\)頂点の \(y\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\) で、グラフから頂点の \(y\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b^2-4ac \gt 0\)
【別解】\(b^2-4ac\) は判別式 \(D\) に等しいので、グラフが \(x\) 軸と2点で交わることから、\(D \gt 0\) よって、\(b^2-4ac \gt 0\)
\({\small (6)}~\)\(x=1\) のとき、
\(y=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=a+b+c\)
グラフより \(x=1\) のとき \(y \gt 0\) であるので、\(a+b+c \gt 0\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ042次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフが右の図のように与えられている。このとき、次の値の符号を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a\) \({\small (2)}~\)\(b\) \({\small (3)}~\)\(c\)
\({\small (4)}~\)\(b^2-4ac\) \({\small (5)}~\)\(a+b+c\)
\({\small (1)}~\)\(a\) \({\small (2)}~\)\(b\) \({\small (3)}~\)\(c\)
\({\small (4)}~\)\(b^2-4ac\) \({\small (5)}~\)\(a+b+c\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 1
\({\small (1)}~\)下に凸のグラフより、\(a \gt 0\)
\({\small (2)}~\)\(y=ax^2+bx+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax^2+bx+c
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) であるので、\(b \lt 0\)
\({\small (3)}~\)\(y\) 切片が負より、\(c \lt 0\)
\({\small (4)}~\)頂点の \(y\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\) で、グラフから頂点の \(y\) 座標は負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\lt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\gt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) であるので、\(b^2-4ac \gt 0\)
【別解】\(b^2-4ac\) は判別式 \(D\) に等しいので、グラフが \(x\) 軸と2点で交わることから、\(D \gt 0\) よって、\(b^2-4ac \gt 0\)
\({\small (5)}~\)\(x=1\) のとき、
\(y=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=a+b+c\)
グラフより \(x=1\) のとき \(y \lt 0\) であるので、\(a+b+c \lt 0\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ052次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフが右の図のようになるとき、次の値は正、\(0\)、負のいずれであるかを答えよ。
\({\small (1)}~\)\(a\) \({\small (2)}~\)\(b\) \({\small (3)}~\)\(c\)
\({\small (4)}~\)\(b^2-4ac\) \({\small (5)}~\)\(a+b+c\)
\({\small (1)}~\)\(a\) \({\small (2)}~\)\(b\) \({\small (3)}~\)\(c\)
\({\small (4)}~\)\(b^2-4ac\) \({\small (5)}~\)\(a+b+c\)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.124 Level Up 6
\({\small (1)}~\)下に凸のグラフより、\(a \gt 0\) （正）
\({\small (2)}~\)\(y=ax^2+bx+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax^2+bx+c
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) であるので、\(b \gt 0\) （正）
\({\small (3)}~\)\(y\) 切片が負より、\(c \lt 0\) （負）
\({\small (4)}~\)頂点の \(y\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\) で、グラフから頂点の \(y\) 座標は負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\lt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\gt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) であるので、\(b^2-4ac \gt 0\) （正）
【別解】\(b^2-4ac\) は判別式 \(D\) に等しいので、グラフが \(x\) 軸と2点で交わることから、\(D \gt 0\) よって、\(b^2-4ac \gt 0\)
\({\small (5)}~\)\(x=1\) のとき、
\(y=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=a+b+c\)
グラフより \(x=1\) のとき \(y=0\) であるので、\(a+b+c=0\)
