このページは、「解が与えられた2次不等式」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ012次不等式 \(ax^2+bx+4 \gt 0\) の解が \(-1 \lt x \lt 2\) となるように、定数 \(a~,~b\) の値を定めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.125 章末問題A 5
2次不等式の解は \(-1 \lt x \lt 2\) であることより、この2次不等式は、
\((x+1)(x-2) \lt 0\)
これより、左辺を展開して整理すると、
\(x^2-x-2 \lt 0\)
ここで、\(ax^2+bx+4 \gt 0\) より、定数項を \(4\) にするためには両辺に \(-2\) を掛けると、
\(-2x^2+2x+4 \gt 0\)
したがって、\(ax^2+bx+4 \gt 0\) と係数を比較して、\(a=-2~,~b=2\) となる
【別解】
\(ax^2+bx+4 \gt 0\) の解は \(-1 \lt x \lt 2\) より、2次関数 \(y=ax^2+bx+4\) は上に凸で \(-1 \lt x \lt 2\) の範囲でx軸より上側にある
よって、この2次関数は \(a \lt 0\) で点 \((-1~,~0)~,~(2~,~0)\) を通るので、
点 \((-1~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+4\\[3pt]~~~0&=&a-b+4\\[3pt]~~~a-b+4&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((2~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot 2^2+b \cdot 2+4\\[3pt]~~~0&=&4a+2b+4\\[3pt]~~~4a+2b+4&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}+{\small [\,1\,]}{\, \small \times \,}2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
4a+2b+4&=&0 \\~~
+\big{)}~~~2a-2b+8&=&0\\
\hline 6a+12&=&0
\\[3pt] 6a&=&-12
\\[3pt] a&=&-2\end{eqnarray}\)
これは、\(a \lt 0\) に適する
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2-b+4&=&0\\[3pt]~~~-b+2&=&0\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-2~,~b=2\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022次不等式 \(-2x^2+ax+b \gt 0\) の解が \(-1 \lt x \lt 2\) となるように、定数 \(a~,~b\) の値を定めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.130 章末問題A 6
2次不等式の解は \(-1 \lt x \lt 2\) であることより、この2次不等式は、
\((x+1)(x-2) \lt 0\)
これより、左辺を展開して整理すると、
\(x^2-x-2 \lt 0\)
ここで、\(-2x^2+ax+b \gt 0\) より、\(x^2\) の係数を \(-2\) にするためには両辺に \(-2\) を掛けると、
\(-2x^2+2x+4 \gt 0\)
したがって、\(-2x^2+ax+b \gt 0\) と係数を比較して、\(a=2~,~b=4\) となる
【別解】
\(-2x^2+ax+b \gt 0\) の解は \(-1 \lt x \lt 2\) より、2次関数 \(y=-2x^2+ax+b\) は上に凸で \(-1 \lt x \lt 2\) の範囲でx軸より上側にある
よって、この2次関数は点 \((-1~,~0)~,~(2~,~0)\) を通るので、
点 \((-1~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&-2 \cdot (-1)^2+a \cdot (-1)+b\\[3pt]~~~0&=&-2-a+b\\[3pt]~~~-a+b-2&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((2~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&-2 \cdot 2^2+a \cdot 2+b\\[3pt]~~~0&=&-8+2a+b\\[3pt]~~~2a+b-8&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2a+b-8&=&0 \\~~
-\big{)}~~~-a+b-2&=&0\\
\hline 3a-6&=&0
\\[3pt] 3a&=&6
\\[3pt] a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+b-2&=&0\\[3pt]~~~b-4&=&0\\[3pt]~~~b&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=2~,~b=4\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032次不等式 \(ax^2+6x+c \gt 0\) の解が \(-2 \lt x \lt 4\) となるような定数 \(a~,~c\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 6
2次不等式の解は \(-2 \lt x \lt 4\) であることより、この2次不等式は、
\((x+2)(x-4) \lt 0\)
これより、左辺を展開して整理すると、
\(x^2-2x-8 \lt 0\)
ここで、\(ax^2+6x+c \gt 0\) より、xの係数を \(6\) にするためには両辺に \(-3\) を掛けると、
\(-3x^2+6x+24 \gt 0\)
したがって、\(ax^2+6x+c \gt 0\) と係数を比較して、\(a=-3~,~c=24\) となる
【別解】
\(ax^2+6x+c \gt 0\) の解は \(-2 \lt x \lt 4\) より、2次関数 \(y=ax^2+6x+c\) は上に凸で \(-2 \lt x \lt 4\) の範囲でx軸より上側にある
よって、この2次関数は \(a \lt 0\) で点 \((-2~,~0)~,~(4~,~0)\) を通るので、
点 \((-2~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot (-2)^2+6 \cdot (-2)+c\\[3pt]~~~0&=&4a-12+c\\[3pt]~~~4a+c-12&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((4~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot 4^2+6 \cdot 4+c\\[3pt]~~~0&=&16a+24+c\\[3pt]~~~16a+c+24&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
16a+c+24&=&0 \\~~
-\big{)}~~~4a+c-12&=&0\\
\hline 12a+36&=&0
\\[3pt] 12a&=&-36
\\[3pt] a&=&-3\end{eqnarray}\)
これは、\(a \lt 0\) に適する
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4 \cdot (-3)+c-12&=&0\\[3pt]~~~-12+c-12&=&0\\[3pt]~~~c-24&=&0\\[3pt]~~~c&=&24\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-3~,~c=24\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ042次不等式 \(2x^2+ax+b \lt 0\) の解が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt x \lt 2\) であるとき、定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.125 Level Up 9
2次不等式の解は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt x \lt 2\) であることより、この2次不等式は、
\(\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)(x-2) \lt 0\)
これより、左辺を展開して整理すると、
\(x^2-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x+1 \lt 0\)
ここで、\(2x^2+ax+b \lt 0\) より、\(x^2\) の係数を \(2\) にするためには両辺に \(2\) を掛けると、
\(2x^2-5x+2 \lt 0\)
したがって、\(2x^2+ax+b \lt 0\) と係数を比較して、\(a=-5~,~b=2\) となる
【別解】
\(2x^2+ax+b \lt 0\) の解は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt x \lt 2\) より、2次関数 \(y=2x^2+ax+b\) は下に凸で \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt x \lt 2\) の範囲でx軸より下側にある
よって、この2次関数は点 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0\right)~,~(2~,~0)\) を通るので、
点 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0\right)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+b\\[5pt]~~~0&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a+b\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a+b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((2~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&2 \cdot 2^2+a \cdot 2+b\\[3pt]~~~0&=&8+2a+b\\[3pt]~~~2a+b+8&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2a+b+8&=&0 \\[5pt]~~
-\big{)}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a+b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&0\\[5pt]
\hline \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a+\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}&=&0
\\[5pt] \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a&=&-\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}
\\[5pt] a&=&-5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-5)+b+8&=&0\\[3pt]~~~-10+b+8&=&0\\[3pt]~~~b-2&=&0\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-5~,~b=2\) となる
