2次方程式が実数解の条件と2次不等式

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.123 練習41

2次関数 \(y=x^2+mx+2\) のグラフが \(x\) 軸と共有点をもつので、

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2次方程式 \(x^2+mx+2=0\) が実数解をもつので、判別式 \(D{\small ~≧~}0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot 2&{\small ~≧~}&0\\[3pt]~~~m^2-8&{\small ~≧~}&0\\[3pt]~~~(m+2\sqrt{\,2\,})(m-2\sqrt{\,2\,})&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m+2\sqrt{\,2\,})(m-2\sqrt{\,2\,})\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(m{\small ~≦~}-2\sqrt{\,2\,}~,~2\sqrt{\,2\,}{\small ~≦~}m\) となる

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.128 問題 10

\(m\) は定数とする。2次方程式 \(-2x^2+4mx+m-3=0\) の実数解の個数は、

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判別式を \(D\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(4m)^2-4 \cdot (-2) \cdot (m-3)
\\[3pt]~~~&=&16m^2+8(m-3)
\\[3pt]~~~&=&16m^2+8m-24
\\[3pt]~~~&=&8(2m^2+m-3)
\\[3pt]~~~&=&8(2m+3)(m-1)\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\)　\(D \gt 0\) のとき、実数解 \(2\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~8(2m+3)(m-1) &\gt& 0\\[3pt]~~~(2m+3)(m-1) &\gt& 0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(2m+3)(m-1)\) の \(y \gt 0\) の範囲より、

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　\(m \lt -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~1 \lt m\)

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\({\small [\,2\,]}\)　\(D=0\) のとき、実数解 \(1\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~8(2m+3)(m-1)&=&0\\[3pt]~~~m&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\)　\(D \lt 0\) のとき、実数解 \(0\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~8(2m+3)(m-1) &\lt& 0\\[3pt]~~~(2m+3)(m-1) &\lt& 0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(2m+3)(m-1)\) の \(y \lt 0\) の範囲より、

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　\(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \lt m \lt 1\)

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したがって、実数解の個数は、

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　\(m \lt -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~1 \lt m\) のとき、\(2\) 個

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　\(m=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~1\) のとき、\(1\) 個

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　\(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \lt m \lt 1\) のとき、\(0\) 個

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.118 練習39

2次関数 \(y=x^2+2mx+3\) のグラフが \(x\) 軸と共有点をもつので、

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2次方程式 \(x^2+2mx+3=0\) が実数解をもつので、判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}{\small ~≧~}0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=m^2-1 \cdot 3&{\small ~≧~}&0\\[5pt]~~~m^2-3&{\small ~≧~}&0\\[3pt]~~~(m+\sqrt{\,3\,})(m-\sqrt{\,3\,})&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m+\sqrt{\,3\,})(m-\sqrt{\,3\,})\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(m{\small ~≦~}-\sqrt{\,3\,}~,~\sqrt{\,3\,}{\small ~≦~}m\) となる

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.125 練習41

\({\small (1)}~\)\(x^2+2mx+3=0\) が実数解をもつので、判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}{\small ~≧~}0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=m^2-1 \cdot 3&{\small ~≧~}&0\\[5pt]~~~m^2-3&{\small ~≧~}&0\\[3pt]~~~(m+\sqrt{\,3\,})(m-\sqrt{\,3\,})&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m+\sqrt{\,3\,})(m-\sqrt{\,3\,})\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(m{\small ~≦~}-\sqrt{\,3\,}~,~\sqrt{\,3\,}{\small ~≦~}m\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)\(x^2+2mx+3=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,} \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=m^2-1 \cdot 3&\lt&0\\[5pt]~~~m^2-3&\lt&0\\[3pt]~~~(m+\sqrt{\,3\,})(m-\sqrt{\,3\,})&\lt&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m+\sqrt{\,3\,})(m-\sqrt{\,3\,})\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(-\sqrt{\,3\,} \lt m \lt \sqrt{\,3\,}\) となる

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.129 補充問題 8

2次関数 \(y=x^2-mx+m-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) のグラフと \(x\) 軸の共有点の個数は、2次方程式 \(x^2-mx+m-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}=0\) の解の個数の条件と一致するので、

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判別式を \(D\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(-m)^2-4 \cdot 1 \cdot \left(m-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&m^2-4m+3
\\[3pt]~~~&=&(m-1)(m-3)\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\)　\(D \gt 0\) のとき、共有点 \(2\) 個

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　\((m-1)(m-3) \gt 0\)

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2次関数 \(y=(m-1)(m-3)\) の \(y \gt 0\) の範囲より、

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　\(m \lt 1~,~3 \lt m\)

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\({\small [\,2\,]}\)　\(D=0\) のとき、共有点 \(1\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~(m-1)(m-3)&=&0\\[3pt]~~~m&=&1~,~3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\)　\(D \lt 0\) のとき、共有点 \(0\) 個

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　\((m-1)(m-3) \lt 0\)

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2次関数 \(y=(m-1)(m-3)\) の \(y \lt 0\) の範囲より、

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　\(1 \lt m \lt 3\)

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したがって、\(x\) 軸との共有点の個数は、

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　\(m \lt 1~,~3 \lt m\) のとき、\(2\) 個

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　\(m=1~,~3\) のとき、\(1\) 個

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　\(1 \lt m \lt 3\) のとき、\(0\) 個

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.120 問題 14

\({\small (1)}~\)\(x^2+(k+1)x+k+2=0\) が重解をもつので、判別式 \(D=0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=(k+1)^2-4 \cdot 1 \cdot (k+2)&=&0\\[3pt]~~~k^2+2k+1-4k-8&=&0\\[3pt]~~~k^2-2k-7&=&0\end{eqnarray}\)

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解の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~k&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{\,(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-7)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm \sqrt{\,4+28\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm \sqrt{\,32\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm 4\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&1 \pm 2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(k=1 \pm 2\sqrt{\,2\,}\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)\(x^2+(k+1)x+k+2=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=(k+1)^2-4 \cdot 1 \cdot (k+2)&\lt&0\\[3pt]~~~k^2+2k+1-4k-8&\lt&0\\[3pt]~~~k^2-2k-7&\lt&0\end{eqnarray}\)

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\({\small (1)}\) より、2次方程式 \(k^2-2k-7=0\) の解は \(k=1 \pm 2\sqrt{\,2\,}\) であるので、

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　\(\{k-(1+2\sqrt{\,2\,})\}\{k-(1-2\sqrt{\,2\,})\} \lt 0\)

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2次関数 \(y=\{k-(1+2\sqrt{\,2\,})\}\{k-(1-2\sqrt{\,2\,})\}\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(1-2\sqrt{\,2\,} \lt k \lt 1+2\sqrt{\,2\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 7

2次方程式 \(x^2-(k-1)x+k^2-2=0\) の実数解の個数は、

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判別式を \(D\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~D&=&\{-(k-1)\}^2-4 \cdot 1 \cdot (k^2-2)
\\[3pt]~~~&=&k^2-2k+1-4k^2+8
\\[3pt]~~~&=&-3k^2-2k+9\end{eqnarray}\)

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ここで、2次方程式 \(-3k^2-2k+9=0\) の解は、

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両辺に \(-1\) を掛けると、

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　\(3k^2+2k-9=0\)

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解の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~k&=&\displaystyle \frac{\,-2 \pm \sqrt{\,2^2-4 \cdot 3 \cdot (-9)\,}\,}{\,2 \cdot 3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2 \pm \sqrt{\,4+108\,}\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2 \pm \sqrt{\,112\,}\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2 \pm 4\sqrt{\,7\,}\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1 \pm 2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\)　\(D \gt 0\) のとき、実数解 \(2\) 個

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　\(-3k^2-2k+9 \gt 0\)

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両辺に \(-1\) を掛けると、

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　\(3k^2+2k-9 \lt 0\)

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2次関数 \(y=3k^2+2k-9\) の \(y \lt 0\) の範囲より、

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　\(\displaystyle \frac{\,-1-2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,} \lt k \lt \displaystyle \frac{\,-1+2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}\)

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\({\small [\,2\,]}\)　\(D=0\) のとき、実数解 \(1\) 個

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　\(k=\displaystyle \frac{\,-1 \pm 2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}\)

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\({\small [\,3\,]}\)　\(D \lt 0\) のとき、実数解 \(0\) 個

---

　\(-3k^2-2k+9 \lt 0\)

---

両辺に \(-1\) を掛けると、

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　\(3k^2+2k-9 \gt 0\)

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2次関数 \(y=3k^2+2k-9\) の \(y \gt 0\) の範囲より、

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　\(k \lt \displaystyle \frac{\,-1-2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1+2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,} \lt k\)

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したがって、実数解の個数は、

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　\(\displaystyle \frac{\,-1-2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,} \lt k \lt \displaystyle \frac{\,-1+2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}\) のとき、\(2\) 個

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　\(k=\displaystyle \frac{\,-1 \pm 2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}\) のとき、\(1\) 個

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　\(k \lt \displaystyle \frac{\,-1-2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1+2\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,} \lt k\) のとき、\(0\) 個

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.125 Level Up 8

2次方程式 \(x^2+(k+1)x+(2k-1)=0\) の実数解の個数は、

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判別式を \(D\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(k+1)^2-4 \cdot 1 \cdot (2k-1)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1-8k+4
\\[3pt]~~~&=&k^2-6k+5
\\[3pt]~~~&=&(k-1)(k-5)\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\)　\(D \gt 0\) のとき、実数解 \(2\) 個

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　\((k-1)(k-5) \gt 0\)

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2次関数 \(y=(k-1)(k-5)\) の \(y \gt 0\) の範囲より、

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　\(k \lt 1~,~5 \lt k\)

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\({\small [\,2\,]}\)　\(D=0\) のとき、実数解 \(1\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~(k-1)(k-5)&=&0\\[3pt]~~~k&=&1~,~5\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\)　\(D \lt 0\) のとき、実数解 \(0\) 個

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　\((k-1)(k-5) \lt 0\)

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2次関数 \(y=(k-1)(k-5)\) の \(y \lt 0\) の範囲より、

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　\(1 \lt k \lt 5\)

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したがって、実数解の個数は、

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　\(k \lt 1~,~5 \lt k\) のとき、\(2\) 個

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　\(k=1~,~5\) のとき、\(1\) 個

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　\(1 \lt k \lt 5\) のとき、\(0\) 個