常に成り立つ2次不等式

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.124 練習42
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.119 練習40

2次不等式 \(-x^2+mx+m \lt 0\) の解がすべての実数であるとき、

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2次関数 \(y=-x^2+mx+m\) は常に負となり、\(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(-x^2+mx+m=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot (-1) \cdot m&\lt&0\\[3pt]~~~m^2+4m&\lt&0\\[3pt]~~~m(m+4)&\lt&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=m(m+4)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(-4 \lt m \lt 0\) となる

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.124 練習43

2次関数 \(y=x^2-mx+2m-3\) の \(y\) の値が常に正であるので、2次関数のグラフと \(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(x^2-mx+2m-3=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=(-m)^2-4 \cdot 1 \cdot (2m-3)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-8m+12&\lt&0\\[3pt]~~~(m-2)(m-6)&\lt&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m-2)(m-6)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(2 \lt m \lt 6\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.125 章末問題A 8
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.130 章末問題A 7

2次関数 \(y=x^2-2ax+a\) の \(y\) の値が常に正であるので、2次関数のグラフと \(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(x^2-2ax+a=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,} \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-a)^2-1 \cdot a&\lt&0\\[5pt]~~~a^2-a&\lt&0\\[3pt]~~~a(a-1)&\lt&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=a(a-1)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(0 \lt a \lt 1\) となる

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.126 練習42

2次不等式 \(x^2+mx+3m-5 \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、

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2次関数 \(y=x^2+mx+3m-5\) は常に正となり、\(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(x^2+mx+3m-5=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot (3m-5)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-12m+20&\lt&0\\[3pt]~~~(m-2)(m-10)&\lt&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m-2)(m-10)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(2 \lt m \lt 10\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.115 問16
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.117 問15

2次不等式 \(x^2+3x+k \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、

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2次関数 \(y=x^2+3x+k\) は常に正となり、\(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(x^2+3x+k=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=3^2-4 \cdot 1 \cdot k&\lt&0\\[3pt]~~~9-4k&\lt&0\\[3pt]~~~-4k&\lt&-9\\[3pt]~~~k&\gt&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(k \gt \displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.120 問題 16

\({\small (1)}~\)2次不等式 \(2x^2-kx+k+1 \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、

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2次関数 \(y=2x^2-kx+k+1\) は常に正となり、\(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(2x^2-kx+k+1=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=(-k)^2-4 \cdot 2 \cdot (k+1)&\lt&0\\[3pt]~~~k^2-8k-8&\lt&0\end{eqnarray}\)

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ここで、2次方程式 \(k^2-8k-8=0\) の解は、

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\(\begin{eqnarray}~~~k&=&\displaystyle \frac{\,-(-8) \pm \sqrt{\,(-8)^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \pm \sqrt{\,64+32\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \pm \sqrt{\,96\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \pm 4\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&4 \pm 2\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=k^2-8k-8\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(4-2\sqrt{\,6\,} \lt k \lt 4+2\sqrt{\,6\,}\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)2次不等式 \(x^2-(k+3)x+4k{\small ~≧~}0\) の解がすべての実数であるとき、

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2次関数 \(y=x^2-(k+3)x+4k\) は常に \(0\) 以上となり、\(x\) 軸と交わらないか接する

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よって、2次方程式 \(x^2-(k+3)x+4k=0\) が実数解をもたないか重解をもつので、判別式 \(D{\small ~≦~}0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=\{-(k+3)\}^2-4 \cdot 1 \cdot 4k&{\small ~≦~}&0\\[3pt]~~~k^2+6k+9-16k&{\small ~≦~}&0\\[3pt]~~~k^2-10k+9&{\small ~≦~}&0\\[3pt]~~~(k-1)(k-9)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(k-1)(k-9)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの不等式の解となる

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したがって、\(1{\small ~≦~}k{\small ~≦~}9\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.122 Training 11

2次不等式 \(x^2+6x+k \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、

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2次関数 \(y=x^2+6x+k\) は常に正となり、\(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(x^2+6x+k=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=6^2-4 \cdot 1 \cdot k&\lt&0\\[3pt]~~~36-4k&\lt&0\\[3pt]~~~-4k&\lt&-36\\[3pt]~~~k&\gt&9\end{eqnarray}\)

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したがって、\(k \gt 9\) となる