このページは、「x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式」の練習問題アーカイブページとなります。
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x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(y=mx^2-x+m-3\) において、\(y\) の値が常に負であるように、定数 \(m\) の値の範囲を定めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.128 問題 12
関数 \(y=mx^2-x+m-3\) の \(y\) の値が常に負であるとき、上に凸で \(x\) 軸と交わらない
これより、\(m \lt 0\) かつ 2次方程式 \(mx^2-x+m-3=0\) が実数解をもたない
よって、判別式 \(D \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D=(-1)^2-4 \cdot m \cdot (m-3)&\lt&0\\[3pt]~~~1-4m^2+12m&\lt&0\\[3pt]~~~4m^2-12m-1&\gt&0\end{eqnarray}\)
ここで、2次方程式 \(4m^2-12m-1=0\) の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,-(-12) \pm \sqrt{\,(-12)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1)\,}\,}{\,2 \cdot 4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12 \pm \sqrt{\,144+16\,}\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12 \pm \sqrt{\,160\,}\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12 \pm 4\sqrt{\,10\,}\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3 \pm \sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=4m^2-12m-1\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、
\(m \lt \displaystyle \frac{\,3-\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,} \lt m\)
ここで、\(m \lt 0\) の条件より、\(\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,} \lt 0\) であるので、
したがって、\(m \lt \displaystyle \frac{\,3-\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022次不等式 \(ax^2+2x+4a \lt 0\) の解がすべての実数であるとき、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.124 問題 16
2次不等式 \(ax^2+2x+4a \lt 0\) の解がすべての実数であるとき、2次関数 \(y=ax^2+2x+4a\) は、上に凸で \(x\) 軸と交わらない
これより、\(a \lt 0\) かつ 2次方程式 \(ax^2+2x+4a=0\) が実数解をもたない
よって、\(ax^2+2 \cdot 1 \cdot x+4a\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,} \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=1^2-a \cdot 4a&\lt&0\\[5pt]~~~1-4a^2&\lt&0\\[3pt]~~~4a^2-1&\gt&0\\[3pt]~~~(2a+1)(2a-1)&\gt&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(2a+1)(2a-1)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、
\(a \lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt a\)
したがって、\(a \lt 0\) の条件より、解は \(a \lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032次不等式 \(ax^2+2x+a \lt 0\) の解がすべての実数であるとき、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.129 補充問題 10
2次不等式 \(ax^2+2x+a \lt 0\) の解がすべての実数であるとき、2次関数 \(y=ax^2+2x+a\) は、上に凸で \(x\) 軸と交わらない
これより、\(a \lt 0\) かつ 2次方程式 \(ax^2+2x+a=0\) が実数解をもたない
よって、\(ax^2+2 \cdot 1 \cdot x+a\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,} \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=1^2-a \cdot a&\lt&0\\[5pt]~~~1-a^2&\lt&0\\[3pt]~~~a^2-1&\gt&0\\[3pt]~~~(a+1)(a-1)&\gt&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(a+1)(a-1)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、
\(a \lt -1~,~1 \lt a\)
したがって、\(a \lt 0\) の条件より、解は \(a \lt -1\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04すべての実数 \(x\) について、2次不等式 \(kx^2+(k+2)x+k \gt 0\) が成り立つような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 8
すべての実数 \(x\) について \(kx^2+(k+2)x+k \gt 0\) が成り立つとき、2次関数 \(y=kx^2+(k+2)x+k\) は、下に凸で \(x\) 軸と交わらない
これより、\(k \gt 0\) かつ 2次方程式 \(kx^2+(k+2)x+k=0\) が実数解をもたない
よって、判別式 \(D \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D=(k+2)^2-4 \cdot k \cdot k&\lt&0\\[3pt]~~~k^2+4k+4-4k^2&\lt&0\\[3pt]~~~-3k^2+4k+4&\lt&0\\[3pt]~~~3k^2-4k-4&\gt&0\\[3pt]~~~(3k+2)(k-2)&\gt&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(3k+2)(k-2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、
\(k \lt -\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~2 \lt k\)
したがって、\(k \gt 0\) の条件より、解は \(k \gt 2\) となる
