範囲内で常に成り立つ2次不等式

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.130 演習問題B 10

関数 \(y=x^2-4x+m(4-m)\) を整理して平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x+4m-m^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4-4)+4m-m^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4+4m-m^2\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-m^2+4m-4\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((2~,~-m^2+4m-4)\) 、下に凸のグラフで定義域 \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\) より、

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これより、\(x=5\) のとき最大値となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&5^2-4 \cdot 5+4m-m^2\\[3pt]~~~&=&25-20+4m-m^2\\[3pt]~~~&=&-m^2+4m+5\end{eqnarray}\)

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ここで、この関数が \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\) の範囲で常に負となるためには、最大値が負であればよいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~-m^2+4m+5&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-4m-5&\gt&0\\[3pt]~~~(m+1)(m-5)&\gt&0\end{eqnarray}\)

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関数 \(y=(m+1)(m-5)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、

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したがって、\(m \lt -1~,~5 \lt m\) となる。

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.126 章末問題B 12

関数 \(y=x^2-2x+m(1-m)\) を整理して平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x+m-m^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1-1)+m-m^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1)-1+m-m^2\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2-m^2+m-1\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((1~,~-m^2+m-1)\) 、下に凸のグラフで定義域 \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) より、

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これより、\(x=3\) のとき最大値となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3^2-2 \cdot 3+m-m^2\\[3pt]~~~&=&9-6+m-m^2\\[3pt]~~~&=&-m^2+m+3\end{eqnarray}\)

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ここで、この関数が \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) の範囲で常に負となるためには、最大値が負であればよいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~-m^2+m+3&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-m-3&\gt&0\end{eqnarray}\)

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ここで、2次方程式 \(m^2-m-3=0\) の解は、

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\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,-(-1) \pm \sqrt{\,(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \pm \sqrt{\,1+12\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \pm \sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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関数 \(y=m^2-m-3\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、

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したがって、\(m \lt \displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,} \lt m\) となる。