このページは、「連立2次不等式の文章問題」の練習問題アーカイブページとなります。
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連立2次不等式の文章問題 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01周囲の長さが \(100~{\rm cm}\) で、縦の長さが横の長さよりも小さい長方形がある。この長方形の面積が \(600~{\rm cm}^2\) 以上であるとき、縦の長さはどのような範囲にあるか。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.125 練習46
縦の長さを \(x~{\rm cm}\) とすると、横の長さは \((50-x)~{\rm cm}\) となるので、
長さの条件より、\(x \gt 0\)、\(50-x \gt 0\) であり、縦の長さが横の長さより小さいので、\(x \lt 50-x\)
\(\begin{eqnarray}~~~x &\lt& 50-x\\[3pt]~~~2x &\lt& 50\\[3pt]~~~x &\lt& 25\end{eqnarray}\)
よって、\(0 \lt x \lt 25\)
面積は \(x(50-x)=-x^2+50x\) で、これが \(600~{\rm cm}^2\) 以上であるから、
\(600{\small ~≦~}-x^2+50x\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-50x+600 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(x-20)(x-30) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-20)(x-30)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(20{\small ~≦~}x{\small ~≦~}30\)
よって、\(0 \lt x \lt 25\) と \(20{\small ~≦~}x{\small ~≦~}30\) の共通範囲より、
したがって、縦の長さは \(20~{\rm cm}\) 以上 \(25~{\rm cm}\) 未満の範囲にある
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(1\) 辺が \(12~{\rm cm}\) の正方形の厚紙がある。この厚紙の四隅から合同な正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。底面の正方形の \(1\) 辺が \(6~{\rm cm}\) 以上で、側面の \(4\) 個の長方形の面積の和を \(40~{\rm cm}^2\) 以上にするとき、切り取る正方形の \(1\) 辺の長さをどのような範囲にとればよいか。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.120 練習43
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.127 練習45
切り取る正方形の \(1\) 辺の長さを \(x~{\rm cm}\) とすると、底面の正方形の \(1\) 辺は \((12-2x)~{\rm cm}\)、高さは \(x~{\rm cm}\) となるので、
長さの条件より、\(x \gt 0\)、\(12-2x \gt 0\) であるから、
\(0 \lt x \lt 6\)
底面の正方形の \(1\) 辺が \(6~{\rm cm}\) 以上であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~12-2x &{\small ~≧~}& 6\\[3pt]~~~-2x &{\small ~≧~}& -6\\[3pt]~~~x &{\small ~≦~}& 3\end{eqnarray}\)
側面の \(1\) 個の長方形の面積は \((12-2x) \cdot x\) であり、\(4\) 個の面積の和が \(40~{\rm cm}^2\) 以上であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~4(12-2x)x &{\small ~≧~}& 40\\[3pt]~~~(12-2x)x &{\small ~≧~}& 10\\[3pt]~~~-2x^2+12x &{\small ~≧~}& 10\\[3pt]~~~-2x^2+12x-10 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~x^2-6x+5 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(x-1)(x-5) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-1)(x-5)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\)
よって、\(0 \lt x \lt 6\) と \(x{\small ~≦~}3\) と \(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\) の共通範囲より、
したがって、切り取る正方形の \(1\) 辺の長さは \(1~{\rm cm}\) 以上 \(3~{\rm cm}\) 以下の範囲にとればよい
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03ある速さで真上に打ち上げたボールの、打ち上げてから \(t\) 秒後の地上からの高さを \(h~{\rm m}\) とする。\(h\) の値が \(h=-5t^2+40t\) で与えられるとき、ボールが地上から \(60~{\rm m}\) 以上 \(75~{\rm m}\) 以下の高さにあるのは、\(t\) の値がどのような範囲にあるときか。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.124 問題 17
ボールの高さが \(h=-5t^2+40t\) で \(60~{\rm m}\) 以上 かつ \(75~{\rm m}\) 以下であるので、
\(60{\small ~≦~}-5t^2+40t{\small ~≦~}75\)
\(2\) つの2次不等式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}60{\small ~≦~}-5t^2+40t~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\-5t^2+40t{\small ~≦~}75~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~60 &{\small ~≦~}& -5t^2+40t\\[3pt]~~~5t^2-40t+60 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~t^2-8t+12 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(t-2)(t-6) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(t-2)(t-6)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(2{\small ~≦~}t{\small ~≦~}6\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5t^2+40t &{\small ~≦~}& 75\\[3pt]~~~-5t^2+40t-75 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~-5(t^2-8t+15) &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~t^2-8t+15 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~(t-3)(t-5) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(t-3)(t-5)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(t{\small ~≦~}3~,~5{\small ~≦~}t\)
よって、数直線上に表すと、共通範囲が連立不等式の解となるので、
\(2{\small ~≦~}t{\small ~≦~}3~,~5{\small ~≦~}t{\small ~≦~}6\)
したがって、\(t\) の値が \(2{\small ~≦~}t{\small ~≦~}3~,~5{\small ~≦~}t{\small ~≦~}6\) の範囲にあるときとなる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04地上から秒速 \(70~{\rm m}\) で真上に打ち上げられた球の \(t\) 秒後の高さを \(h~{\rm m}\) とすると、\(t\) と \(h\) の関係は、\(h=70t-5t^2\) と表される。球の高さが \(200~{\rm m}\) 以上、\(240~{\rm m}\) 以下になるのは、打ち上げてから何秒後から何秒後までか。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.118 問20
球の高さが \(h=70t-5t^2\) で \(200~{\rm m}\) 以上 かつ \(240~{\rm m}\) 以下であるので、
\(200{\small ~≦~}70t-5t^2{\small ~≦~}240\)
\(2\) つの2次不等式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}200{\small ~≦~}70t-5t^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\70t-5t^2{\small ~≦~}240~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~200 &{\small ~≦~}& 70t-5t^2\\[3pt]~~~5t^2-70t+200 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~t^2-14t+40 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(t-4)(t-10) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(t-4)(t-10)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(4{\small ~≦~}t{\small ~≦~}10\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~70t-5t^2 &{\small ~≦~}& 240\\[3pt]~~~-5t^2+70t-240 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~-5(t^2-14t+48) &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~t^2-14t+48 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~(t-6)(t-8) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(t-6)(t-8)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(t{\small ~≦~}6~,~8{\small ~≦~}t\)
よって、数直線上に表すと、共通範囲が連立不等式の解となるので、
\(4{\small ~≦~}t{\small ~≦~}6~,~8{\small ~≦~}t{\small ~≦~}10\)
したがって、打ち上げてから \(4\) 秒後から \(6\) 秒後まで、\(8\) 秒後から \(10\) 秒後までとなる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05縦と横の長さの和が \(9~{\rm cm}\) である長方形の面積を、\(18~{\rm cm}^2\) 以上 \(20~{\rm cm}^2\) 以下にしたい。長方形の横の長さを縦の長さ以上とするとき、縦の長さをどのような範囲にすればよいか。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.125 Level Up 12
縦の長さを \(x~{\rm cm}\) とすると、横の長さは \((9-x)~{\rm cm}\) となるので、
長さの条件より、\(x \gt 0\)、\(9-x \gt 0\) であり、横の長さが縦の長さ以上であるので、\(x{\small ~≦~}9-x\)
\(\begin{eqnarray}~~~x &{\small ~≦~}& 9-x\\[3pt]~~~2x &{\small ~≦~}& 9\\[3pt]~~~x &{\small ~≦~}& \displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(0 \lt x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
面積は \(x(9-x)=-x^2+9x\) で、これが \(18~{\rm cm}^2\) 以上 \(20~{\rm cm}^2\) 以下であるから、
\(18{\small ~≦~}-x^2+9x{\small ~≦~}20\)
\(2\) つの2次不等式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}18{\small ~≦~}-x^2+9x~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\-x^2+9x{\small ~≦~}20~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~18 &{\small ~≦~}& -x^2+9x\\[3pt]~~~x^2-9x+18 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(x-3)(x-6) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-3)(x-6)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}6\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+9x &{\small ~≦~}& 20\\[3pt]~~~-x^2+9x-20 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~x^2-9x+20 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~(x-4)(x-5) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-4)(x-5)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(x{\small ~≦~}4~,~5{\small ~≦~}x\)
よって、\(0 \lt x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) と \(3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}6\) と \(x{\small ~≦~}4~,~5{\small ~≦~}x\) の共通範囲より、
したがって、縦の長さは \(3~{\rm cm}\) 以上 \(4~{\rm cm}\) 以下の範囲にすればよい
