このページは、「2つの2次方程式の解の条件と2次不等式」の練習問題アーカイブページとなります。
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2つの2次方程式の解の条件と2次不等式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(2\) つの放物線 \(y=x^2+(m+1)x+m^2~,~\)\(y=x^2+2mx+2m\) がともに \(x\) 軸と共有点をもつとき、定数 \(m\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.128 問題 11
放物線 \(y=x^2+(m+1)x+m^2\) が \(x\) 軸と共有点をもつとき、2次方程式 \(x^2+(m+1)x+m^2=0\) が実数解をもつので、
判別式 \(D_1{\small ~≧~}0\)
2次方程式 \(x^2+(m+1)x+m^2=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&(m+1)^2-4 \cdot 1 \cdot m^2\\[3pt]~~~&=&m^2+2m+1-4m^2\\[3pt]~~~&=&-3m^2+2m+1\end{eqnarray}\)
放物線 \(y=x^2+2mx+2m\) が \(x\) 軸と共有点をもつとき、2次方程式 \(x^2+2mx+2m=0\) が実数解をもつので、
判別式 \(D_2{\small ~≧~}0\)
2次方程式 \(x^2+2mx+2m=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&(2m)^2-4 \cdot 1 \cdot 2m\\[3pt]~~~&=&4m^2-8m\end{eqnarray}\)
ともに \(x\) 軸と共有点をもつ条件は、
\(D_1{\small ~≧~}0\) かつ \(D_2{\small ~≧~}0\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1=-3m^2+2m+1 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~3m^2-2m-1 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(3m+1)(m-1) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(3m+1)(m-1)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\small ~≦~}m{\small ~≦~}1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2=4m^2-8m &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~4m(m-2) &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~m(m-2) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=m(m-2)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(m{\small ~≦~}0~,~2{\small ~≦~}m~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通範囲より、
したがって、\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\small ~≦~}m{\small ~≦~}0\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a \neq 0\) とする。\(2\) つの方程式 \(ax^2-3x+a=0~,~\)\(x^2-ax+a^2-3a=0\) について次の条件が成り立つように、定数 \(a\) の値の範囲を定めよ。
\({\small (1)}~\) \(2\) つの方程式がともに実数解をもつ。
\({\small (2)}~\) \(2\) つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。
\({\small (3)}~\) \(2\) つの方程式の一方だけが実数解をもつ。
\({\small (1)}~\) \(2\) つの方程式がともに実数解をもつ。
\({\small (2)}~\) \(2\) つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。
\({\small (3)}~\) \(2\) つの方程式の一方だけが実数解をもつ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.130 演習問題B 11
2次方程式 \(ax^2-3x+a=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&(-3)^2-4 \cdot a \cdot a\\[3pt]~~~&=&9-4a^2\end{eqnarray}\)
2次方程式 \(x^2-ax+a^2-3a=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&(-a)^2-4 \cdot 1 \cdot (a^2-3a)\\[3pt]~~~&=&a^2-4a^2+12a\\[3pt]~~~&=&-3a^2+12a\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)ともに実数解をもつ条件は、
\(D_1{\small ~≧~}0\) かつ \(D_2{\small ~≧~}0\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1=9-4a^2 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~-4(a^2-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}) &{\small ~≧~}& 0\\[5pt]~~~a^2-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,} &{\small ~≦~}& 0\\[5pt]~~~\left(a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\left(a-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=\left(a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\left(a-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2=-3a^2+12a &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~-3a(a-4) &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~a(a-4) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=a(a-4)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通範囲より、
ただし、\(a \neq 0\) より、
したがって、\(0 \lt a{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)少なくとも一方が実数解をもつ条件は、
\(D_1{\small ~≧~}0\) または \(D_2{\small ~≧~}0\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の和集合より、
ただし、\(a \neq 0\) より、
したがって、\(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}a \lt 0~,~0 \lt a{\small ~≦~}4\) となる
\({\small (3)}~\)一方だけが実数解をもつ条件は、
\(D_1{\small ~≧~}0\) と \(D_2{\small ~≧~}0\) のどちらか一方だけが成り立つので、
\({\small [\,1\,]}\) または \({\small [\,2\,]}\) の一方だけの範囲より、
ただし、\(a \neq 0\) より、
したがって、\(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}a \lt 0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \lt a{\small ~≦~}4\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の \(2\) つの方程式がともに実数解をもつとき、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
\(x^2+(a+1)x+a^2=0~,~\)\(x^2+2ax+2a=0\)
\(x^2+(a+1)x+a^2=0~,~\)\(x^2+2ax+2a=0\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.125 章末問題A 7
2次方程式 \(x^2+(a+1)x+a^2=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&(a+1)^2-4 \cdot 1 \cdot a^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2a+1-4a^2\\[3pt]~~~&=&-3a^2+2a+1\end{eqnarray}\)
2次方程式 \(x^2+2ax+2a=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&(2a)^2-4 \cdot 1 \cdot 2a\\[3pt]~~~&=&4a^2-8a\end{eqnarray}\)
ともに実数解をもつ条件は、
\(D_1{\small ~≧~}0\) かつ \(D_2{\small ~≧~}0\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1=-3a^2+2a+1 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~3a^2-2a-1 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(3a+1)(a-1) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(3a+1)(a-1)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2=4a^2-8a &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~4a(a-2) &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~a(a-2) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=a(a-2)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(a{\small ~≦~}0~,~2{\small ~≦~}a~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通範囲より、
したがって、\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}0\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(2\) つの2次関数 \(y=2x^2+(k-1)x+2\) と \(y=-x^2+kx+3-k^2\) のグラフがともに \(x\) 軸と共有点をもたないような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.125 練習問題B 15
放物線 \(y=2x^2+(k-1)x+2\) が \(x\) 軸と共有点をもたないとき、
2次方程式 \(2x^2+(k-1)x+2=0\) が実数解をもたないので、
判別式 \(D_1 \lt 0\)
2次方程式 \(2x^2+(k-1)x+2=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&(k-1)^2-4 \cdot 2 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&k^2-2k+1-16\\[3pt]~~~&=&k^2-2k-15\end{eqnarray}\)
放物線 \(y=-x^2+kx+3-k^2\) が \(x\) 軸と共有点をもたないとき、
2次方程式 \(-x^2+kx+3-k^2=0\) が実数解をもたないので、
判別式 \(D_2 \lt 0\)
2次方程式 \(-x^2+kx+3-k^2=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&k^2-4 \cdot (-1) \cdot (3-k^2)\\[3pt]~~~&=&k^2+12-4k^2\\[3pt]~~~&=&-3k^2+12\end{eqnarray}\)
ともに \(x\) 軸と共有点をもたない条件は、
\(D_1 \lt 0\) かつ \(D_2 \lt 0\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1=k^2-2k-15 &\lt& 0\\[3pt]~~~(k-5)(k+3) &\lt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(k-5)(k+3)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(-3 \lt k \lt 5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2=-3k^2+12 &\lt& 0\\[3pt]~~~-3(k^2-4) &\lt& 0\\[3pt]~~~k^2-4 &\gt& 0\\[3pt]~~~(k+2)(k-2) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(k+2)(k-2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(k \lt -2~,~2 \lt k~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通範囲より、
したがって、\(-3 \lt k \lt -2~,~2 \lt k \lt 5\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(2\) つの2次方程式 \(2x^2+(k-1)x+2=0~,~\)\(x^2-kx+k^2-3=0\) がともに実数解をもたないような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.125 Level Up 11
2次方程式 \(2x^2+(k-1)x+2=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&(k-1)^2-4 \cdot 2 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&k^2-2k+1-16\\[3pt]~~~&=&k^2-2k-15\end{eqnarray}\)
2次方程式 \(x^2-kx+k^2-3=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&(-k)^2-4 \cdot 1 \cdot (k^2-3)\\[3pt]~~~&=&k^2-4k^2+12\\[3pt]~~~&=&-3k^2+12\end{eqnarray}\)
ともに実数解をもたない条件は、
\(D_1 \lt 0\) かつ \(D_2 \lt 0\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1=k^2-2k-15 &\lt& 0\\[3pt]~~~(k-5)(k+3) &\lt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(k-5)(k+3)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(-3 \lt k \lt 5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2=-3k^2+12 &\lt& 0\\[3pt]~~~-3(k^2-4) &\lt& 0\\[3pt]~~~k^2-4 &\gt& 0\\[3pt]~~~(k+2)(k-2) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(k+2)(k-2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(k \lt -2~,~2 \lt k~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通範囲より、
したがって、\(-3 \lt k \lt -2~,~2 \lt k \lt 5\) となる
