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2次関数とx軸との交点の位置 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012次関数 \(y=x^2+2mx+m+6\) のグラフと \(x\) 軸の負の部分が異なる \(2\) 点で交わるように、定数 \(m\) の値の範囲を定めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.126 練習47
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.121 練習44
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.131 章末問題B 12
2次関数 \(y=x^2+2mx+m+6\) のグラフと \(x\) 軸の負の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より小さい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\(\small [\,1\,]\) より、2次方程式 \(x^2+2mx+m+6=0\) の判別式 \(D\) が \(D \gt 0\)
\(x^2+2 \cdot mx+(m+6)=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=m^2-1 \cdot (m+6) &\gt& 0\\[5pt]~~~m^2-m-6 &\gt& 0\\[3pt]~~~(m-3)(m+2) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m-3)(m+2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(m \lt -2~,~3 \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が負である
2次関数 \(y=x^2+2mx+m+6\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2+2mx+m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2+2mx+m^2-m^2)+m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2+2mx+m^2)-m^2+m+6\\[3pt]~~~&=&(x+m)^2-m^2+m+6\end{eqnarray}\)
よって、軸の方程式が \(x=-m\) で負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-m &\lt& 0\\[3pt]~~~m &\gt& 0\end{eqnarray}\)
\(m \gt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(\begin{eqnarray}~~~m+6 &\gt& 0\\[3pt]~~~m &\gt& -6\end{eqnarray}\)
\(m \gt -6~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(m \gt 3\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022次方程式 \(x^2-mx-m+8=0\) が次のような実数解をもつように、定数 \(m\) の値の範囲を定めよ。
\({\small (1)}~\) 異なる \(2\) つの正の解
\({\small (2)}~\) 異なる \(2\) つの負の解
\({\small (3)}~\) 正の解と負の解
\({\small (1)}~\) 異なる \(2\) つの正の解
\({\small (2)}~\) 異なる \(2\) つの負の解
\({\small (3)}~\) 正の解と負の解
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.130 演習問題B 12
2次方程式 \(x^2-mx-m+8=0\) が異なる \(2\) つの正の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-mx-m+8\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より大きい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\({\small (1)}~\)\(\small [\,1\,]\) より、2次方程式 \(x^2-mx-m+8=0\) の判別式 \(D\) が \(D \gt 0\)
\(\begin{eqnarray}~~~D=(-m)^2-4 \cdot 1 \cdot (-m+8)&\gt& 0\\[3pt]~~~m^2+4m-32&\gt& 0\\[3pt]~~~(m+8)(m-4)&\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m+8)(m-4)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(m \lt -8~,~4 \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が正である
2次関数 \(y=x^2-mx-m+8\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-mx-m+8\\[3pt]~~~&=&\left(x^2-mx+\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}\right)-m+8\\[5pt]~~~&=&\left(x-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,4\,}-m+8\end{eqnarray}\)
よって、軸の方程式が \(x=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}\) で正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,} &\gt& 0\\[5pt]~~~m &\gt& 0\end{eqnarray}\)
\(m \gt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(\begin{eqnarray}~~~-m+8 &\gt& 0\\[3pt]~~~-m &\gt& -8\\[3pt]~~~m &\lt& 8\end{eqnarray}\)
\(m \lt 8~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(4 \lt m \lt 8\) となる
\({\small (2)}~\)2次方程式 \(x^2-mx-m+8=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-mx-m+8\) のグラフと \(x\) 軸の負の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より小さい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\(\small [\,1\,]\) より、
\(m \lt -8~,~4 \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が負である
軸の方程式が \(x=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}\) で負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,} &\lt& 0\\[5pt]~~~m &\lt& 0\end{eqnarray}\)
\(m \lt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(m \lt 8~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(m \lt -8\) となる
\({\small (3)}~\)2次方程式 \(x^2-mx-m+8=0\) が正の解と負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-mx-m+8\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分で \(1\) 点、負の部分で \(1\) 点で交わるとき、
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が負
これより、\(y\) 軸との交点が負（\(y\) 切片が負）だから、
\(\begin{eqnarray}~~~-m+8 &\lt& 0\\[3pt]~~~-m &\lt& -8\\[3pt]~~~m &\gt& 8\end{eqnarray}\)
したがって、\(m \gt 8\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032次方程式 \(x^2-2mx+m+12=0\) が、次のような実数解をもつように、定数 \(m\) の値の範囲を定めよ。
\({\small (1)}~\) 異なる \(2\) つの正の解
\({\small (2)}~\) 異なる \(2\) つの負の解
\({\small (3)}~\) 正の解と負の解
\({\small (1)}~\) 異なる \(2\) つの正の解
\({\small (2)}~\) 異なる \(2\) つの負の解
\({\small (3)}~\) 正の解と負の解
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.126 章末問題B 14
2次方程式 \(x^2-2mx+m+12=0\) が異なる \(2\) つの正の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-2mx+m+12\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より大きい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\({\small (1)}~\)\(\small [\,1\,]\) より、2次方程式 \(x^2-2mx+m+12=0\) の判別式 \(D\) が \(D \gt 0\)
\(x^2+2 \cdot (-m)x+(m+12)=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-m)^2-1 \cdot (m+12) &\gt& 0\\[5pt]~~~m^2-m-12 &\gt& 0\\[3pt]~~~(m-4)(m+3) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m-4)(m+3)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(m \lt -3~,~4 \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が正である
2次関数 \(y=x^2-2mx+m+12\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2mx+m+12\\[3pt]~~~&=&(x^2-2mx+m^2-m^2)+m+12\\[3pt]~~~&=&(x^2-2mx+m^2)-m^2+m+12\\[3pt]~~~&=&(x-m)^2-m^2+m+12\end{eqnarray}\)
よって、軸の方程式が \(x=m\) で正であるので、
\(m \gt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(\begin{eqnarray}~~~m+12 &\gt& 0\\[3pt]~~~m &\gt& -12\end{eqnarray}\)
\(m \gt -12~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(m \gt 4\) となる
\({\small (2)}~\)2次方程式 \(x^2-2mx+m+12=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-2mx+m+12\) のグラフと \(x\) 軸の負の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より小さい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\(\small [\,1\,]\) より、
\(m \lt -3~,~4 \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が負である
軸の方程式が \(x=m\) で負であるので、
\(m \lt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(m \gt -12~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(-12 \lt m \lt -3\) となる
\({\small (3)}~\)2次方程式 \(x^2-2mx+m+12=0\) が正の解と負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-2mx+m+12\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分で \(1\) 点、負の部分で \(1\) 点で交わるとき、
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が負
これより、\(y\) 軸との交点が負（\(y\) 切片が負）だから、
\(\begin{eqnarray}~~~m+12 &\lt& 0\\[3pt]~~~m &\lt& -12\end{eqnarray}\)
したがって、\(m \lt -12\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ042次関数 \(y=x^2-4mx-5m+6\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が、異なる \(2\) 点で交わるとき、定数 \(m\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.128 研究 練習1
2次関数 \(y=x^2-4mx-5m+6\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より大きい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\(\small [\,1\,]\) より、2次方程式 \(x^2-4mx-5m+6=0\) の判別式 \(D\) が \(D \gt 0\)
\(x^2+2 \cdot (-2m)x+(-5m+6)=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-2m)^2-1 \cdot (-5m+6) &\gt& 0\\[5pt]~~~4m^2+5m-6 &\gt& 0\\[3pt]~~~(4m-3)(m+2) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(4m-3)(m+2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(m \lt -2~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,} \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が正である
2次関数 \(y=x^2-4mx-5m+6\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4mx-5m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2-4mx+4m^2-4m^2)-5m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2-4mx+4m^2)-4m^2-5m+6\\[3pt]~~~&=&(x-2m)^2-4m^2-5m+6\end{eqnarray}\)
よって、軸の方程式が \(x=2m\) で正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2m &\gt& 0\\[3pt]~~~m &\gt& 0\end{eqnarray}\)
\(m \gt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5m+6 &\gt& 0\\[3pt]~~~-5m &\gt& -6\\[3pt]~~~m &\lt& \displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(m \lt \displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,} \lt m \lt \displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ052次方程式 \(x^2-kx+k+3=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.119 問21
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.121 問18
2次方程式 \(x^2-kx+k+3=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-kx+k+3\) のグラフと \(x\) 軸の負の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より小さい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\(\small [\,1\,]\) より、2次方程式 \(x^2-kx+k+3=0\) の判別式 \(D\) が \(D \gt 0\)
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(-k)^2-4 \cdot 1 \cdot (k+3)\\[3pt]~~~&=&k^2-4k-12\\[3pt]~~~&\gt& 0\\[3pt]~~~&&(k-6)(k+2) \gt 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(k-6)(k+2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(k \lt -2~,~6 \lt k~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が負である
2次関数 \(y=x^2-kx+k+3\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-kx+k+3\\[3pt]~~~&=&\left(x^2-kx+\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}\right)+k+3\\[5pt]~~~&=&\left(x-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}+k+3\end{eqnarray}\)
よって、軸の方程式が \(x=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}\) で負であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,} &\lt& 0\\[5pt]~~~k &\lt& 0\end{eqnarray}\)
\(k \lt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(\begin{eqnarray}~~~k+3 &\gt& 0\\[3pt]~~~k &\gt& -3\end{eqnarray}\)
\(k \gt -3~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(-3 \lt k \lt -2\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ062次方程式 \(3x^2-12x+12-k^2=0\) が正の解と負の解を \(1\) つずつもつような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.124 練習問題A 9
2次方程式 \(3x^2-12x+12-k^2=0\) が正の解と負の解をもつことは、
2次関数 \(y=3x^2-12x+12-k^2\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分で \(1\) 点、負の部分で \(1\) 点で交わるとき、
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が負
これより、\(y\) 軸との交点が負（\(y\) 切片が負）だから、
\(\begin{eqnarray}~~~12-k^2 &\lt& 0\\[3pt]~~~k^2-12 &\gt& 0\\[3pt]~~~(k+2\sqrt{\,3\,})(k-2\sqrt{\,3\,}) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(k+2\sqrt{\,3\,})(k-2\sqrt{\,3\,})\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
したがって、\(k \lt -2\sqrt{\,3\,}~,~2\sqrt{\,3\,} \lt k\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ072次方程式 \(x^2-3kx+2k-5=0\) が正の解と負の解をもつような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.125 Level Up 13
2次方程式 \(x^2-3kx+2k-5=0\) が正の解と負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-3kx+2k-5\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分で \(1\) 点、負の部分で \(1\) 点で交わるとき、
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が負
これより、\(y\) 軸との交点が負（\(y\) 切片が負）だから、
\(\begin{eqnarray}~~~2k-5 &\lt& 0\\[3pt]~~~2k &\lt& 5\\[3pt]~~~k &\lt& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(k \lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) となる
