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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a\) は正の定数とする。関数 \(y=|\,x^2-4x\,|\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.130 演習問題B 8
\(x^2-4x\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x&=&(x^2-4x+4)-4
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-4\end{eqnarray}\)
よって、放物線 \(y=x^2-4x\) は頂点 \((2~,~-4)\) 、軸の方程式 \(x=2\)
また、\(x^2-4x=x(x-4)\) より \(x=0~,~4\) で \(x\) 軸と交わる
\(y=|\,x^2-4x\,|\) は関数全体に絶対値が付いているので、放物線 \(y=x^2-4x\) のグラフの \(x\) 軸より下側の部分を、\(x\) 軸対称移動したグラフとなる
また、折り返した部分の頂点は \((2~,~4)\) となる
次に、\(x=2\) のときの \(y\) の値 \(4\) と同じ値となる \(x\) の値を求めると、
\(x \gt 4\) のとき \(x^2-4x \gt 0\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x&=&4
\\[3pt]~~~x^2-4x-4&=&0\end{eqnarray}\)
解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-4)\pm\sqrt{\,(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\pm\sqrt{\,16+16\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\pm\sqrt{\,32\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\pm4\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(x \gt 4\) より、\(x=2+2\sqrt{\,2\,}\)
よって、最大値は \({\small [\,1\,]}\)～\({\small [\,4\,]}\) の4つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=a\) で最大となるので、
\(0 \lt a \lt 2\) では \(x^2-4x \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,a^2-4a\,|
\\[3pt]~~~&=&-(a^2-4a)
\\[3pt]~~~&=&-a^2+4a\end{eqnarray}\)
したがって、最大値 \(-a^2+4a\) （\(x=a\)）
\({\small [\,2\,]}\) \(2{\small ~≦~}a \lt 2+2\sqrt{\,2\,}\) のとき
\(x=2\) で最大となるので、
\(y=|\,2^2-4 \cdot 2\,|=|\,-4\,|=4\)
したがって、最大値 \(4\) （\(x=2\)）
\({\small [\,3\,]}\) \(a=2+2\sqrt{\,2\,}\) のとき
\(x=2~,~2+2\sqrt{\,2\,}\) で最大となるので、
\(y=4\)
したがって、最大値 \(4\) （\(x=2~,~2+2\sqrt{\,2\,}\)）
\({\small [\,4\,]}\) \(2+2\sqrt{\,2\,} \lt a\) のとき
\(x=a\) で最大となるので、
\(a \gt 2+2\sqrt{\,2\,} \gt 4\) より \(a^2-4a \gt 0\) なので、
\(y=|\,a^2-4a\,|=a^2-4a\)
したがって、最大値 \(a^2-4a\) （\(x=a\)）
