このページは、「三角形の内角と90°-θの三角比」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の \(3\) つの角の大きさを \({A}~,~{B}~,~{C}\) とする。このとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\({\small (1)}~\sin \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\tan \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}=1\)
\({\small (1)}~\sin \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\tan \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}=1\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.137 問題 5
\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{A}+{B}&=&180^\circ-{C}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-{C}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}&=&90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}&=&\sin \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sin (90^\circ-\theta)=\cos \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\right)&=&\cos \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\tan \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\tan \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\right) \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\tan (90^\circ-\theta)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\,}{\, \small \times \,}\tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\tan \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}=1\) となる
