このページは、「三角比の2次方程式とθの値」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(0°{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180°\) のとき、\(2\cos^2 \theta-1=0\) を満たす角 \(\theta\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.149 問題 7
左辺を因数分解して \(\cos \theta\) の解を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos^2 \theta-1&=&0\\[3pt]~~~(\sqrt{\,2\,}\cos \theta+1)(\sqrt{\,2\,}\cos \theta-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,2\,}\cos \theta+1=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2\,}\cos \theta&=&-1\\[3pt]~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,2\,}\cos \theta-1=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2\,}\cos \theta&=&1\\[3pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点をとると、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
よって、\(\theta=135^\circ\)
次に、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点をとると、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
よって、\(\theta=45^\circ\)
したがって、\(\theta=45^\circ~,~135^\circ\) となる
