sinθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値

\({\small (1)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-4\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、

---

\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)

---

または、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)

---

となる
 
 

\({\small (2)}~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\)

---

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) では \(\sin \theta {\small ~≧~} 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1\,}\\[5pt]~~~&=&-\sqrt{\,15\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\sqrt{\,15\,}\)

---

となる

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.143 練習15

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-16\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、

---

\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)

---

または、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)

---

となる

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.143 練習16(1)

\({\small (1)}~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\)

---

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-1\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) では \(\sin \theta {\small ~≧~} 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}\\[5pt]~~~&=&-2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}~,~\tan \theta=-2\sqrt{\,2\,}\)

---

となる

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.145 問題 3(1)

\({\small (1)}~4\sin \theta=3\) のとき

---

\(\sin \theta\) について解くと、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-9\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、

---

\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\)

---

または、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\)

---

となる

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.148 練習16
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.147 問4

\({\small (1)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-4\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(90^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) では \(\cos \theta {\small ~≦~} 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)

---

となる
 
 
\({\small (2)}~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\)

---

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-16\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(90^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) では \(\sin \theta {\small ~≧~} 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)

---

となる

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.149 補充問題 3

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-9\,}{\,25\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、

---

\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)

---

または、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.147 問7

\({\small (1)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,169\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,169-25\,}{\,169\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,144\,}{\,169\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、

---

\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,144\,}{\,169\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,144\,}{\,169\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,13\,}{\,12\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)

---

または、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)

---

となる
 
 
\({\small (2)}~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\)

---

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) では \(\sin \theta {\small ~≧~} 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1\,}\\[5pt]~~~&=&-\sqrt{\,15\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\sqrt{\,15\,}\)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.149 問題 9(1)

\({\small (1)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-9\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、

---

\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\)

---

または、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\)

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となる

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.149 Training 8(1)(2)

\({\small (1)}~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき

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相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\)

---

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) では \(\sin \theta {\small ~≧~} 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1\,}\\[5pt]~~~&=&-\sqrt{\,15\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\sqrt{\,15\,}\)

---

となる
 
 
\({\small (2)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}\) のとき

---

相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、

---

　\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)

---

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、

---

\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

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　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\)

---

または、

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　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\)

---

となる