tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.149 問題 3

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-2 \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、

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　\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

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相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\tan \theta=-2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+(-2)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\cos \theta \lt 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

---

\(\tan \theta=-2~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-2{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\) となる

数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.149 練習17

\({\small (1)}~\tan \theta=-\sqrt{\,2\,}\) のとき

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\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-\sqrt{\,2\,} \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、

---

　\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

---

相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\tan \theta=-\sqrt{\,2\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+(-\sqrt{\,2\,})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\cos \theta \lt 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=-\sqrt{\,2\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-\sqrt{\,2\,}{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\) となる
 
 
\({\small (2)}~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき

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\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \gt 0\) であることより、\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) となり、

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　\(\cos \theta \gt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

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相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)

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\(\cos \theta \gt 0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)

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また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.143 練習16(2)
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.148 練習17

\({\small (2)}~\tan \theta=-2\) のとき

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\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-2 \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、

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　\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

---

相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\tan \theta=-2\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+(-2)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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\(\cos \theta \lt 0\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=-2~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-2{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

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　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.145 問題 3(2)

\({\small (2)}~\tan \theta+3=0\) のとき

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\(\tan \theta\) について解くと、

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　\(\tan \theta=-3\)

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\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-3 \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、

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　\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

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相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\tan \theta=-3\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+(-3)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)

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\(\cos \theta \lt 0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)

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また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=-3~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.147 問8
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.147 問5

\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、

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　\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

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相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)

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\(\cos \theta \lt 0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)

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また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.149 問題 9(2)

\({\small (2)}~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\) のとき

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\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,} \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、

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　\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

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相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\right)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

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\(\cos \theta \lt 0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.149 Training 8(3)

\({\small (3)}~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) のとき

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\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,} \gt 0\) であることより、\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) となり、

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　\(\cos \theta \gt 0~,~\sin \theta \gt 0\)

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相互関係の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\right)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,20\,}{\,25\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

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\(\cos \theta \gt 0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)

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\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot 5\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\) となる