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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01等式 \(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 \theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 \theta\,}\) が成り立つことを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.149 問題 10
[証明] \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 \theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\) であるので、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 \theta\,}\hspace{25pt}(\,∵~\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\,)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 \theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 \theta\,}\) [終]
