このページは、「正弦の比と辺の比」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
正弦の比と辺の比 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) において、次の等式が成り立つとき、この三角形の最も小さい角の余弦の値を求めよ。
\(\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,8\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,7\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {C}\,}{\,3\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,8\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,7\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {C}\,}{\,3\,}\)
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.161 練習28
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=8:7:3\) より、
\(a:b:c=8:7:3\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=8k~,~b=7k~,~c=3k\)
\(c\) が最小の辺より、\({C}\) が最小の角となるので、\({C}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~c^2&=&a^2+b^2-2ab\cos {C}\\[3pt]~~~(3k)^2&=&(8k)^2+(7k)^2-2 \cdot 8k \cdot 7k \cdot \cos {C}\\[3pt]~~~112k^2\cos {C}&=&64k^2+49k^2-9k^2\\[3pt]~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,104k^2\,}{\,112k^2\,}\\[5pt]~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,13\,}{\,14\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、最も小さい角の余弦の値は \(\displaystyle \frac{\,13\,}{\,14\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin {C}\,}\) であるとき、\(\cos {A}~,~\sin {A}~,~\tan {A}\) の値を、それぞれ求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.172 演習問題A 3
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin {C}\,}\) より、
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=2:3:4\)
よって、
\(a:b:c=2:3:4\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=2k~,~b=3k~,~c=4k\)
\({A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(3k)^2+(4k)^2-(2k)^2\,}{\,2 \cdot 3k \cdot 4k\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9k^2+16k^2-4k^2\,}{\,24k^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21k^2\,}{\,24k^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\sin^2 {A}=1-\cos^2 {A}\)
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,49\,}{\,64\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64-49\,}{\,64\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
三角形の内角より \(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) であり、\(\sin {A} \gt 0\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,64\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
また、相互関係の公式より \(\tan {A}=\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,\cos {A}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan {A}&=&\sin {A}{\, \small \div \,}\cos {A}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,8\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,8\,}{\,7\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}~,~\sin {A}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,8\,}~,~\tan {A}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,7\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) において次の等式が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさを求めよ。
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=8:7:13\)
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=8:7:13\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.155 練習28
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=8:7:13\) より、
\(a:b:c=8:7:13\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=8k~,~b=7k~,~c=13k\)
\(c\) が最大の辺より、\({C}\) が最大の角となるので、\({C}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~c^2&=&a^2+b^2-2ab\cos {C}\\[3pt]~~~(13k)^2&=&(8k)^2+(7k)^2-2 \cdot 8k \cdot 7k \cdot \cos {C}\\[3pt]~~~112k^2\cos {C}&=&64k^2+49k^2-169k^2\\[3pt]~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,-56k^2\,}{\,112k^2\,}\\[5pt]~~~\cos {C}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({C}=120^\circ\)
したがって、最大の角は \(120^\circ\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a:b=7:3~,~A=60^\circ\) のとき、\(\sin {B}\) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.164 問題 6
\(a:b=7:3\) より、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=7k~,~b=3k\)
\(\angle {\rm A}\) と \(\angle {\rm B}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,7k\,}{\,\sin 60^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,3k\,}{\,\sin {B}\,}\\[5pt]~~~7k~\sin {B}&=&3k~\sin 60^\circ\\[5pt]~~~\sin {B}&=&\displaystyle \frac{\,3k~\sin 60^\circ\,}{\,7k\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin 60^\circ=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {B}&=&\displaystyle \frac{\,3k\,}{\,7k\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{\,14\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin {B}=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{\,14\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\triangle {\rm ABC}\) において次の等式が成り立つとき、\(B\) を求めよ。
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=8:7:3\)
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=8:7:3\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.159 練習28
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=8:7:3\) より、
\(a:b:c=8:7:3\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=8k~,~b=7k~,~c=3k\)
\({B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2ca\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(3k)^2+(8k)^2-(7k)^2\,}{\,2 \cdot 3k \cdot 8k\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9k^2+64k^2-49k^2\,}{\,48k^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24k^2\,}{\,48k^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({B}=60^\circ\)
したがって、\({B}=60^\circ\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,7\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {C}\,}{\,8\,}\) が成り立つとする。\(\triangle {\rm ABC}\) の最小角を \(\theta\) とするとき、\(\cos \theta\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.157 問10
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,7\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {C}\,}{\,8\,}\) より、
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=7:5:8\)
よって、
\(a:b:c=7:5:8\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=7k~,~b=5k~,~c=8k\)
\(b\) が最小の辺より、\({B}\) が最小の角となるので、\(\theta={B}\) であり、\({B}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&\cos {B}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2ca\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(8k)^2+(7k)^2-(5k)^2\,}{\,2 \cdot 8k \cdot 7k\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64k^2+49k^2-25k^2\,}{\,112k^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,88k^2\,}{\,112k^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {C}\,}{\,7\,}\) のとき、\(C\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.166 Level Up 5
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,\sin {C}\,}{\,7\,}\) より、
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=5:3:7\)
よって、
\(a:b:c=5:3:7\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=5k~,~b=3k~,~c=7k\)
\({C}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2ab\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(5k)^2+(3k)^2-(7k)^2\,}{\,2 \cdot 5k \cdot 3k\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25k^2+9k^2-49k^2\,}{\,30k^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-15k^2\,}{\,30k^2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({C}=120^\circ\)
したがって、\({C}=120^\circ\) となる
