このページは、「データの変換と四分位数」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(30\) 人の生徒が \(50\) 点満点の試験を受けたところ、その得点のデータの中央値は \(28\) 点、範囲は \(42\) 点、四分位範囲は \(16\) 点であった。次のようにデータを変更したときの、中央値、範囲、四分位範囲を求めよ。
\({\small (1)}~\)生徒全員の得点に \(3\) 点を加えたとき
\({\small (2)}~\)生徒全員の得点を \(2\) 倍したとき
\({\small (3)}~\)生徒全員の得点を \(2\) 倍して、\(3\) 点を加えたとき
\({\small (1)}~\)生徒全員の得点に \(3\) 点を加えたとき
\({\small (2)}~\)生徒全員の得点を \(2\) 倍したとき
\({\small (3)}~\)生徒全員の得点を \(2\) 倍して、\(3\) 点を加えたとき
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.209 演習問題A 3
この \(30\) 個のデータの最大値を \(M\) 、最小値を \(m\) 、第 \(1\) ～第 \(3\) 四分位数を \(Q_1~,~Q_2~,~Q_3\) とすると、
中央値が \(28\) より、\(Q_2=28\)
範囲が \(42\) より、\(M-m=42\)
四分位範囲が \(16\) より、\(Q_3-Q_1=16\)
\({\small (1)}\)
データの各値に \(3\) を加えると、中央値も \(3\) 加わるので、
\(Q_2+3=28+3=31\)
最大値も最小値も \(3\) 加わるので、範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(M+3)-(m+3)\\[3pt]~~~&=&(M-m)+3-3\\[3pt]~~~&=&M-m=42\end{eqnarray}\)
第 \(3\) 四分位数も第 \(1\) 四分位数も \(3\) 加わるので、四分位範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(Q_3+3)-(Q_1+3)\\[3pt]~~~&=&(Q_3-Q_1)+(3-3)\\[3pt]~~~&=&Q_3-Q_1=16\end{eqnarray}\)
したがって、中央値 \(31\) 、範囲 \(42\) 、四分位範囲 \(16\) となる
\({\small (2)}\)
データの各値を \(2\) 倍すると、中央値も \(2\) 倍されるので、
\(Q_2 {\, \small \times \,} 2=28 {\, \small \times \,} 2=56\)
最大値も最小値も \(2\) 倍されるので、範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&M {\, \small \times \,} 2-m {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&(M-m) {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&42 {\, \small \times \,} 2=84\end{eqnarray}\)
第 \(3\) 四分位数も第 \(1\) 四分位数も \(2\) 倍されるので、四分位範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&Q_3 {\, \small \times \,} 2-Q_1 {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&(Q_3-Q_1) {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&16 {\, \small \times \,} 2=32\end{eqnarray}\)
したがって、中央値 \(56\) 、範囲 \(84\) 、四分位範囲 \(32\) となる
\({\small (3)}\)
データの各値を \(2\) 倍して \(3\) を加えると、中央値も \(2\) 倍して \(3\) 加わるので、
\(Q_2 {\, \small \times \,} 2+3=28 {\, \small \times \,} 2+3=59\)
最大値も最小値も \(2\) 倍して \(3\) 加わるので、範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(M {\, \small \times \,} 2+3)-(m {\, \small \times \,} 2+3)\\[3pt]~~~&=&(M-m) {\, \small \times \,} 2+3-3\\[3pt]~~~&=&42 {\, \small \times \,} 2=84\end{eqnarray}\)
第 \(3\) 四分位数も第 \(1\) 四分位数も \(2\) 倍して \(3\) 加わるので、四分位範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(Q_3 {\, \small \times \,} 2+3)-(Q_1 {\, \small \times \,} 2+3)\\[3pt]~~~&=&(Q_3-Q_1) {\, \small \times \,} 2+(3-3)\\[3pt]~~~&=&16 {\, \small \times \,} 2=32\end{eqnarray}\)
したがって、中央値 \(59\) 、範囲 \(84\) 、四分位範囲 \(32\) となる
